[論文レビュー] Spectral Clustering of Signed Graphs via Matrix Power Means

Pedro Mercado, Francesco Tudisco+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2019

Complex Network Analysis Techniques被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、符号付きグラフのスぺクトラルクラスタリングに適した、正と負のグラフ相互作用を統合する1パラメータ族の行列累乗平均である符号付き累乗平均（SPM）ラプラシアンを導入する。理論的に、SPMラプラシアンは、最先端手法よりも緩い条件下で真のクラスタを回復でき、特に $p \to -\infty$ の極限において顕著な性能を示す。また、確率的ブロックモデル（SBM）下で固有値および固有ベクトルの集中を確立する。

ABSTRACT

Signed graphs encode positive (attractive) and negative (repulsive) relations between nodes. We extend spectral clustering to signed graphs via the one-parameter family of Signed Power Mean Laplacians, defined as the matrix power mean of normalized standard and signless Laplacians of positive and negative edges. We provide a thorough analysis of the proposed approach in the setting of a general Stochastic Block Model that includes models such as the Labeled Stochastic Block Model and the Censored Block Model. We show that in expectation the signed power mean Laplacian captures the ground truth clusters under reasonable settings where state-of-the-art approaches fail. Moreover, we prove that the eigenvalues and eigenvector of the signed power mean Laplacian concentrate around their expectation under reasonable conditions in the general Stochastic Block Model. Extensive experiments on random graphs and real world datasets confirm the theoretically predicted behaviour of the signed power mean Laplacian and show that it compares favourably with state-of-the-art methods.

研究の動機と目的

• 既存のスぺクトラルクラスタリング手法が符号付きグラフにおいて正と負の辺を最適に統合できないという限界に対処する。
• 算術平均および幾何平均に基づくラプラシアンの一般化を、行列累乗平均を用いて符号付きグラフに統一的フレームワークを構築する。
• 提案されたSPMラプラシアンが、最先端手法が失敗する状況でも、一般化された符号付き確率的ブロックモデル（SSBM）下で期待値として真のクラスタを回復することを証明する。
• サンプルグラフに対して理論的保証を拡張できるよう、SPMラプラシアンの固有値および固有ベクトルが期待値のまわりに集中することを確立する。
• 広範な実験を通じて、合成および実世界の符号付きネットワークにおいて、SPMラプラシアンが既存手法を上回ることを示す。

提案手法

• 正の辺と負の辺の正規化済み標準ラプラシアンおよび符号なしラプラシアンの行列累乗平均として、符号付き累乗平均（SPM）ラプラシアンを定義する。
• パラメータ $p$ を用いて、算術平均（$p=1$）、幾何平均（$p=0$）、調和平均（$p=-1$）の間を補間し、$p \to \infty$ および $p \to -\infty$ の極限はそれぞれ論理積（AND）および論理和（OR）に対応する。
• 一般化された符号付き確率的ブロックモデル（SSBM）の文脈でSPMラプラシアンを分析し、真のクラスタ構造が期待値として回復される条件を導出する。
• 緩い条件下で、SPMラプラシアンの固有値および固有ベクトルが期待値のまわりに集中することを証明し、サンプルグラフに対しても理論的保証を可能にする。
• 高次行列累乗を明示的に構築せずに、主固有ベクトルを効率的に計算するための行列非依存の多項式Krylov部分空間法を実装する。
• 合成および実世界のデータセットにおいて、Bethe Hessian、正規化ラプラシアン、符号なし正規化ラプラシアンといった最先端手法とSPMラプラシアンを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列累乗平均を用いて、スぺクトラルクラスタリングにおける正と負のグラフ相互作用を統合する統一的フレームワークを構築できるか？
• RQ2 符号付き確率的ブロックモデル（SSBM）下で、SPMラプラシアンが期待値として真のクラスタ構造を回復する条件は何か？
• RQ3 累乗平均のパラメータ $p$ の選択が、クラスタ回復のロバスト性および性能にどのように影響するか？
• RQ4 確率的ブロックモデル設定下で、SPMラプラシアンの固有値および固有ベクトルは期待値のまわりに集中するか？
• RQ5 実世界および合成の符号付きネットワークにおいて、SPMラプラシアンは既存の最先端手法と比べてどのように性能を発揮するか？

主な発見

• SPMラプラシアンにおいて $p \to -\infty$ のとき、正または負の相互作用のいずれかが情報を持っている場合に常にクラスタを回復でき、これは論理和（OR）に類似した条件に対応する。
• SPMラプラシアンにおいて $p \to \infty$ のとき、正および負の両方の相互作用が情報を持っている場合にのみクラスタを回復でき、これは論理積（AND）に類似した条件に対応する。
• 有限な $p$ に対しては、クラスタ回復の条件を満たす設定の割合が $p$ が小さくなるにつれて増加し、$\mathcal{L}_{-\infty}$ は常に条件を満たす。
• ランダムグラフ上の実験では、$p \leq -2$ のSPMラプラシアンは、$L_{SN}$、$L_{BN}$、Bethe Hessianよりも一貫してクラスタ回復精度が優れている。
• SPMラプラシアンの固有ベクトルを計算する行列非依存のKrylov法は、高次行列累乗の明示的計算よりも著しく高速であり、特に大規模グラフにおいて顕著な高速化が得られる。
• Wikipediaデータでは、$p = -10$ および $p = -5$ のSPMラプラシアンが隣接行列に明確なブロック構造を明らかにしたが、他の手法では同様のパターンを回復できなかった。