[論文レビュー] Spectral convergence under bounded Ricci curvature

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界リッチ曲率を伴う非崩壊的Gromov-Hausdorff収束の下で、1-形式上のホッジラプラシアンおよびテンソル場上の接続ラプラシアンのスペクトル収束を確立する。これらの作用素の固有値の収束を示し、体積、直径、リッチ曲率に基づく固有値に関する新たな境界を提示し、一階ベッチ数の上半連続性と一様スペクトルギャップの存在との同値性を示す。

ABSTRACT

For a noncollapsed Gromov-Hausdorff convergent sequence of Riemannian manifolds with a uniform bound of Ricci curvature, we establish two spectral convergence. One of them is on the Hodge Laplacian acting on differential one-forms. The other is on the connection Laplacian acting on tensor fields of every type, which include all differential forms. These are generalizations of Cheeger-Colding's spectral convergence of the Laplacian acting on functions to the cases of tensor fields and differential forms. As a corollary we show the upper semicontinuity of the first Betti numbers with respect to the Gromov-Hausdorff topology, and give the equivalence between the continuity of them and the existence of a uniform spectral gap. We also define the Riemannian curvature tensor, the Ricci curvature, and the scalar curvature of the limit space, and show their properties. In particular the Ricci curvature coincides with the difference between the Hodge Laplacian and the connection Laplacian, and is compatible with Gigli's one and Lott's Ricci measure. Moreover a lower bound of the Ricci curvature is compatible with a reduced Riemannian curvature dimension condition. We also give a positive answer to Lott's question on the behavior of the scalar curvature with respect to the Gromov-Hausdorff topology.

研究の動機と目的

• 非崩壊的Gromov-Hausdorff収束に伴い、一様に有界なリッチ曲率を伴うリーマン多様体上で、微分1-形式上のホッジラプラシアンおよび任意の型のテンソル場上の接続ラプラシアンのスペクトル収束を確立すること。
• これらの作用素の固有値について、体積、直径、リッチ曲率の境界に基づく新たな定量的境界を導出すること。
• Gromov-Hausdorff収束の下で一階ベッチ数の上半連続性を証明し、一様スペクトルギャップの存在によってその連続性を特徴付けること。
• Gromov-Hausdorff極限空間上に可測な曲率テンソル（リッチ曲率およびスカラー曲率）を定義し、Gigliの定義およびLottの定義と整合することを示すこと。
• 提案された可測スカラー曲率を用いて、Lottのスカラー曲率のGromov-Hausdorff収束における挙動に関する未解決問題に肯定的な答えを与えること。

提案手法

• 有界リッチ曲率を伴うリーマン多様体の列の極限空間上でヘッセ作用素の$L^2$-強い収束を用いる。
• 1-形式のボッハナーの公式と近似定理を用いて、Gromov-Hausdorff極限空間上に可測曲率テンソルを構成する。
• 曲率テンソルの$L^p$-強い収束を用いて、定義されたリッチ曲率がGigliのリッチ曲率およびLottのリッチ測度と整合することを確立する。
• 縮小リーマン曲率次元条件を適用し、下からのリッチ曲率の下界が$RCD$-条件と整合することを示す。
• 極限空間の構造と$L^2$-強い収束を用いて、ホッジラプラシアンおよび接続ラプラシアンのスペクトル収束を証明する。
• RCD空間の理論と測度付きGromov-Hausdorff収束を用いて、固有値の安定性およびベッチ数の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非崩壊的Gromov-Hausdorff収束に伴い、一様に有界なリッチ曲率を伴う場合に、1-形式上のホッジラプラシアンおよび任意の型のテンソル場上の接続ラプラシアンのスペクトル収束が成立するか？
• RQ2 Gromov-Hausdorff収束の下で、一階ベッチ数は上半連続か？ その連続性は一様スペクトルギャップの存在と同値か？
• RQ3 有界リッチ曲率を伴うリーマン多様体の列のGromov-Hausdorff極限空間上に可測リッチ曲率テンソルを定義できるか？ また、Gigliの定義およびLottの定義と整合するか？
• RQ4 提案されたスカラー曲率はGromov-Hausdorff収束の下で連続的に振る舞うか？ これにより、Lottの未解決問題に答えられるか？
• RQ5 $L^2$-強いヘッセ作用素の収束は、有界リッチ曲率を伴う非崩壊的Gromov-Hausdorff極限において保存されるか？

主な発見

• 一様に有界なリッチ曲率を伴う非崩壊的Gromov-Hausdorff収束の下で、微分1-形式上のホッジラプラシアンおよび任意の型のテンソル場上の接続ラプラシアンは、スペクトル収束を示す。
• 一階ベッチ数はGromov-Hausdorff位相に関して上半連続であり、その連続性は一様スペクトルギャップの存在と同値である。
• ホッジラプラシアンおよび接続ラプラシアンの固有値について、体積、直径、リッチ曲率の境界に基づく新たな定量的境界が導出された。
• Gromov-Hausdorff極限空間上に可測リッチ曲率テンソルが定義され、それはホッジラプラシアンと接続ラプラシアンの差に一致する。
• 定義されたリッチ曲率はGigliのリッチ曲率およびLottのリッチ測度と整合し、その下界は$RCD$-条件と整合する。
• 本稿は、極限空間上に可測スカラー曲率を導入することにより、Lottのスカラー曲率のGromov-Hausdorff収束における挙動に関する未解決問題に肯定的な答えを与える。