[論文レビュー] Spectral gap properties for linear random walks and Pareto's asymptotics for affine stochastic recursions

Yves Guivarc’h, Émile Le Page|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 上の線形確率ウォークにおけるスペクトルギャップ性質を確立し、弱いモーメント条件の下でアフィン確率的再帰の定常測度についてパレート型の漸近的性質を導出する。再生理論とリャプノフ指数の単純性、および球面への径数フーリエ解析を組み合わせることで、定常測度が無限遠で均一的であることを証明し、その尾測度は線形成分の分布とアフィン増分が生成する半群に依存することを示す。

ABSTRACT

Let $V=\mathbb R^d$ be the Euclidean $d$-dimensional space, $μ$ (resp $λ$) a probability measure on the linear (resp affine) group $G=G L (V)$ (resp $H= \Aff (V))$ and assume that $μ$ is the projection of $λ$ on $G$. We study asymptotic properties of the iterated convolutions $μ^n *δ\_{v}$ (resp $λ^n*δ\_{v})$ if $v\in V$, i.e asymptotics of the random walk on $V$ defined by $μ$ (resp $λ$), if the subsemigroup $T\subset G$ (resp.\ $Σ\subset H$) generated by the support of $μ$ (resp $λ$) is "large". We show spectral gap properties for the convolution operator defined by $μ$ on spaces of homogeneous functions of degree $s\geq 0$ on $V$, which satisfy H{ö}lder type conditions. As a consequence of our analysis we get precise asymptotics for the potential kernel $Σ\_{0}^{\infty} μ^k * δ\_{v}$, which imply its asymptotic homogeneity. Under natural conditions the $H$-space $V$ is a $λ$-boundary; then we use the above results and radial Fourier Analysis on $V\setminus \{0\}$ to show that the unique $λ$-stationary measure $ρ$ on $V$ is "homogeneous at infinity" with respect to dilations $v ightarrow t v$ (for $t extgreater{}0$), with a tail measure depending essentially of $μ$ and $Σ$. Our proofs are based on the simplicity of the dominant Lyapunov exponent for certain products of Markov-dependent random matrices, on the use of renewal theorems for "tame" Markov walks, and on the dynamical properties of a conditional $λ$-boundary dual to $V$.

研究の動機と目的

• 線形確率ウォークと関連する畳み込み作用素のスペクトルギャップ性質を確立すること
• 潜在核 $\sum_{k=0}^{\inyfty} \mu^k * \delta_v$ の漸近的挙動を分析すること
• 弱いモーメント条件の下で、アフィン確率的再帰の定常測度 $\rho$ が無限遠で均一的であることを証明すること
• 線形成分 $\mu$ と半群 $\Sigma$ を用いて $\rho$ の尾測度を特徴付けること
• 定常測度の径数的構造を分析するための双対マルコフ境界アプローチを開発すること

提案手法

• 射影空間および球面空間における移動作用素と固有測度を用いたエルゴード的性質の分析
• tame fibered マルコフ連鎖に対する再生定理の応用により、潜在核の漸近的挙動を導出すること
• $V \setminus \{0\}$ 上における径数フーリエ解析を用いて、無限遠での均一性を研究すること
• マルコフ的依存性を持つ確率的行列積の主リャプノフ指数の単純性を活用すること
• ショケット＝デニの性質と $\lambda$-境界と双対境界の双対性を用いて尾挙動を制御すること
• 生成関数の解析接続とメロモルフィック拡張を用いて、モーメント条件とランダウの補題による矛盾を確立すること

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形確率ウォークの潜在核が漸近的に均一的であるのはどのような条件下か？
• RQ2 アフィン確率的再帰の定常測度は無限遠でどのように振る舞い、その尾構造は何かによって決定されるか？
• RQ3 ホルダー型の正則性条件下で、次数 $s \geq 0$ の同次関数に対する畳み込み作用素にどのようなスペクトルギャップ性質が成り立つか？
• RQ4 マルコフ的依存性を持つ行列積に対する再生定理は、ランダムウォークの漸近的解析にどのように寄与するか？
• RQ5 アフィン再帰の定常測度が拡大 $v \to tv$ に関して「無限遠で均一的」とは、どのような意味でそう言えるか？

主な発見

• 潜在核 $\sum_{k=0}^{\inyfty} \mu^k * \delta_v$ は無限遠で漸近的に均一的であり、尾がべき則に従って減少することを示唆する。
• 自然な条件下で、$V$ 上の唯一の $\lambda$-定常測度 $\rho$ は、$t > 0$ に対する拡大 $v \to tv$ に関して無限遠で均一的である。
• $\rho$ の尾測度は本質的に線形成分 $\mu$ と $\lambda$ が生成する半群 $\Sigma$ のみに依存する。
• ホルダー型の正則性条件の下で、次数 $s \geq 0$ の同次関数に対する畳み込み作用素のスペクトルギャップ性質が確立される。
• 関数 $k(s) = \mathbb{E}[\|A\|^s]$ は $s > \alpha$ に対して $k(s) > 1$ を満たし、$\lim_{s \to \infty} k(s)^{1/s} = c > 1$ である。これは径数成分の有限指数的モーメントを示唆する。
• 径数成分の有界性を仮定した場合、ランダウの補題により矛盾が導かれ、$\mathbb{E}[\langle R, u\rangle_+^s] < \infty$ が $s < \beta + \varepsilon$ に対して成り立つことが示され、有限モーメント閾値 $\alpha$ の存在が確認される。