[論文レビュー] On multidimensional Mandelbrot's cascades

Dariusz Buraczewski, Ewa Damek+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ℝᵈにおける適切な閉凸錐上での滑らかさ変換の不動点を分析することにより、1次元のマンデルブロカスケード理論を高次元に拡張する。𝔼[N]𝔼[A]の主要固有値が1であるという条件下で、多次元正規変動を示す非自明な不動点の存在を確立し、正規変動の指数を特定するとともに、カハン、ペイリエ、ギュイヴァルシュの結果を非負かつ可逆でない行列を含む多次元設定に一般化する。

ABSTRACT

Let $Z$ be a random variable with values in a proper closed convex cone $C\\subset \\mathbb{R}^d$, $A$ a random endomorphism of $C$ and $N$ a random integer. We assume that $Z$, $A$, $N$ are independent. Given $N$ independent copies $(A_i,Z_i)$ of $(A,Z)$ we define a new random variable $\\hat Z = \\sum_{i=1}^N A_i Z_i$. Let $T$ be the corresponding transformation on the set of probability measures on $C$ i.e. $T$ maps the law of $Z$ to the law of $\\hat Z$. If the matrix $\\mathbb{E}[N] \\mathbb{E} [A]$ has dominant eigenvalue 1, we study existence and properties of fixed points of $T$ having finite nonzero expectation. Existing one dimensional results concerning $T$ are extended to higher dimensions. In particular we give conditions under which such fixed points of $T$ have multidimensional regular variation in the sense of extreme value theory and we determine the index of regular variation.

研究の動機と目的

• 凸錐内の確率的行列積を用いて、1次元のマンデルブロカスケード理論を高次元に拡張すること。
• ℝᵈにおける滑らかさ変換が、有限かつ非ゼロの期待値を持つ非自明な不動点を有するための条件を確立すること。
• このような不動点の尾部挙動を多次元正規変動を用いて特徴付けること。
• スカラーからベクトル値設定への重尾不動点に関する結果を一般化し、特にカハン、ペイリエ、ギュイヴァルシュの研究を高次元に拡張すること。

提案手法

• 滑らかさ変換Tは、確率的ベクトルZの分布を∑ᵢ₌₁ᴺ AᵢZᵢの分布に写像する。ここでAᵢはi.i.d.な確率的自己準同型、ZᵢはZのi.i.d.コピーである。
• 解析は、AᵢがCに値をとる適切な閉凸錐C ⊂ ℝᵈ上で行われ、非負行列モデルを一般化する。
• 主な条件は、𝔼[N]𝔼[A]の主要固有値が1に等しいことであり、これにより拡張と収縮のバランスが保たれる。
• 著者らは、確率的行列積のスペクトル理論、特に錐に対するペロン＝フロベニウス理論を用いて、カスケードの漸近的挙動を研究する。
• Cの単位球面上に射影的マルコフ過程を定義し、関連するマルコフ作用素Qˢの固有測度と固有関数を用いる。
• 固定点の存在と正規変動は、作用素Pˢのスペクトル半径κ(s)およびs-ホルダー連続な固有関数の存在を用いて確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさ変換Tが、ℝᵈ内の凸錐C ⊂ ℝᵈで有限かつ非ゼロの期待値を持つ非自明な不動点を有するための条件は何か？
• RQ2 そのような不動点の尾部の正規変動の指数は何か？また、モーメント母関数θ(s) = 𝔼[∑ᵢ₌₁ᴺ |Aᵢ|ˢ]とどのように関係するか？
• RQ3 不動点の尾部特性は、カハンとギュイヴァルシュの1次元結果をどのように高次元に一般化するか？
• RQ4 ケステンの枠組みに従い、非可逆かつ非負行列に対しても、多次元錐設定において理論を拡張できるか？
• RQ5 双対錐と随伴行列A*の作用は、カスケードの漸近的挙動を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 𝔼[N]𝔼[A]の主要固有値が正確に1に等しい限り、ℝᵈ内の錐C ⊂ ℝᵈで滑らかさ変換Tの非自明な不動点が存在する。
• 不動点は多次元正規変動を示し、正規変動の指数はθ(χ) = 1を満たす一意なχ > 1に等しい。
• 固定点Yについて、limₜ→∞ t^χ ℙ(Y > t) > 0 が成り立つ。これはギュイヴァルシュとリウの1次元結果を拡張する。
• マルコフ作用素Qˢに対してs-ホルダー連続な固有関数および固有測度の存在は、カスケードの収束および不動点の正規変動を保証する。
• 理論は非可逆行列、特に非負行列に対しても適用可能であり、多次元設定におけるケステンの結果を強化する。
• 双対錐構造およびA*がC*上で作用する仕組みは、スペクトル特性およびプロセスの漸近的挙動を特徴付ける上で不可欠である。