[論文レビュー] Spectral gaps for periodic Schrödinger operators with hypersurface magnetic wells: Analysis near the bottom

Bernard Helffer, Yuri A. Kordyukov|ArXiv.org|Dec 23, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非コンパクト多様体上に周期的磁場シュレーディンガー作用素を、磁場が超曲面 S 上で正則に消える磁場井戸を持つ場合に、スペクトルギャップを解析する。微小パラメータ h → 0 の下で、S 上の非退化ミニ井戸条件のもとで、スペクトルの底に任意の数のスペクトルギャップが存在することを、半古典的解析とトンネル効果推定を用いて証明し、1井戸近似における固有値の漸近展開を提供する。

ABSTRACT

We consider a periodic magnetic Schrödinger operator $H^h$, depending on the semiclassical parameter $h>0$, on a noncompact Riemannian manifold $M$ such that $H^1(M, {\mathbb R})=0$ endowed with a properly discontinuous cocompact isometric action of a discrete group. We assume that there is no electric field and that the magnetic field has a periodic set of compact magnetic wells. We suppose that the magnetic field vanishes regularly on a hypersurface $S$. First, we prove upper and lower estimates for the bottom $λ_0(H^h)$ of the spectrum of the operator $H^h$in $L^2(M)$. Then, assuming the existence of non-degenerate miniwells for the reduced spectral problem on $S$, we prove the existence of an arbitrary large number of spectral gaps for the operator $H^h$ in the region close to $λ_0(H^h)$, as $h o 0$. In this case, we also obtain upper estimates for the eigenvalues of the one-well problem.

研究の動機と目的

• 磁場が超曲面 S 上で正則に消える周期的磁場シュレーディンガー作用素のスペクトル構造を解析すること。
• h → 0 の下で、スペクトルの底 λ₀(Hʰ) の厳密な上界と下界を確立すること。
• S 上の非退化ミニ井戸条件のもとで、λ₀(Hʰ) の近くに任意の数のスペクトルギャップが存在することを証明すること。
• 半古典的極限における1井戸問題の固有値の漸近展開を導出すること。

提案手法

• h → 0 の極限における孤立した磁場井戸間のトンネル効果を、半古典的解析を用いて研究すること。
• 井戸のコンパクト部分集合上でのディリクレ実現を用いて、スペクトル問題を1井戸モデルに還元すること。
• h に依存する位相関数と振幅関数を用いたパラメトリックス法と WKB 型アンザッツを用いて準固有状態を構成すること。
• 近似固有値とスペクトル分離性に基づく一般ギャップ存在基準（定理 4.2）の適用。
• 磁場強度とその最小値を特徴付けるために、トレースノルム |B(x)| と正のトレース Tr⁺(B(x)) を用いること。
• 超曲面 S 上の作用素 K における固有値の漸近解析を実施し、h^(2k+2)/(k+2) および h^(2k+3)/(k+2) 項を含む固有値展開を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 h → 0 の下で、周期的磁場シュレーディンガー作用素のスペクトルが、スペクトルの底に任意の数のスペクトルギャップを示す条件は何か？
• RQ2 特に磁場井戸が超曲面 S 上で消えることによって、スペクトルギャップ構造にどのような影響が生じるか？
• RQ3 1井戸問題の固有値がスペクトルの底近くでどのように漸近的に振る舞うか、正確に特定できるか？
• RQ4 超曲面 S 上のミニ井戸の非退化性が、スペクトルギャップ構造を制御可能か？
• RQ5 トンネル効果は、磁場強度の極小値付近におけるスペクトルの局在化にどのような役割を果たすか？

主な発見

• スペクトルの底 λ₀(Hʰ) は、磁場井戸の局所的幾何に依存するが、h^(2k+2)/(k+2) のオーダーで上界と下界を満たす。ここで k ≥ 1 である。
• S 上のミニ井戸が非退化であれば、十分に小さい h に対して、[0, h(b₀ + ε₀)] 内に少なくとも N 個のスペクトルギャップが存在する。ここで N ≥ 1 である。
• m 番目の固有値 λₘ(Hʰ) は、h → 0 の下で漸近展開を満たす：λₘ(Hʰ) = ĥνω_min(B)^(2/(k+2)) h^((2k+2)/(k+2)) + λₘ h^((2k+3)/(k+2)) + O(h^((4k+7)/(2(k+2))))。
• この固有値展開は、制御パラメータに関する基底状態エネルギーの2階微分が正であるという仮定のもとで有効であり、S 上のモデル作用素 K の離散スペクトルを保証する。
• 2階微分が 0 である場合、K のスペクトルは半直線 [λ₀, ∞) となるが、λ₀ < b_N となる b_N を選び、その中で固有値を選べばギャップは依然として存在する。
• 準固有状態 Uʰ は、(Hʰ − z(h))Uʰ = O(h^((4k+7)/(2(k+2)))) を満たし、||Uʰ|| = 1 + o(1) であるため、漸近近似の精度が裏付けられる。