[論文レビュー] Spectral invariance for certain algebras of pseudodifferential operators

Robert Lauter, Bertrand Monthubert+1 more|ArXiv.org|Dec 10, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、連続的族群ガロアの上での擬微分作用素の代数のスペクトル不変性を、半イデアル、交換子、シュワーツ空間を用いて、ホロモルフィック関数計算に関して閉じた代数を構成することによって確立する。主な貢献は、$n \geq 2$ の $c_n$-計算がスペクトル不変であることを証明し、非コンパクト多様体の円筒的端を持つ場合に、標準的な $b$-計算（$n=1$）がスペクトル不変でないという問題を解決することにある。

ABSTRACT

We construct algebras of pseudodifferential operators on a continuous family groupoid G that are closed under holomorphic functional calculus, contain the algebra of all pseudodifferential operators of order 0 on G as a dense subalgebra, and reflect the smooth structure of the groupoid G, when G is smooth. As an application, we get a better understanding on the structure of inverses of elliptic pseudodifferential operators on classes of non-compact manifolds. For the construction of these algebras closed under holomorphic functional calculus, we develop three methods: one using two-sided semi-ideals, one using commutators, and one based on Schwartz spaces on the groupoid.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体の円筒的端を持つ場合に、標準的な $b$-計算がスペクトル不変でないという問題を解決し、擬微分作用素のスペクトル不変性を保証すること。
• 連続的族群ガロア $\mathcal{G}$ の滑らかさの構造を反映するホロモルフィック関数計算に関して閉じた擬微分作用素の代数を構成すること。
• シュワーツ空間と多項式成長を示す長さ関数を組み合わせることで、$\Psi^*$-代数の理論を非コンパクトな状況に拡張すること。
• $c_n$-計算（$n \geq 2$）における楕円的作用素の逆作用素が同じ計算に留まることを証明し、同じ代数内にパラメトリクスが存在することを保証すること。

提案手法

• 連続的族群ガロア $\mathcal{G}$ 上での擬微分作用素の代数を、三つの方法（半イデアル、交換子、長さ関数 $\phi$ に関するシュワーツ空間）を用いて構成する。
• 代数 $\Psi^0_s(\mathcal{G}) = \Psi^0(\mathcal{G}) + \SS(\mathcal{G}, \phi)$ を定義する。ここで $\SS(\mathcal{G}, \phi)$ は $\mathcal{G}$ に対する $\phi$ に関するシュワーツ空間である。
• $\mathcal{G}$ のリー代数的構造を用いて、各点における接空間を生成するベクトル場 $v_1, \dots, v_N$ を選び、$\Delta = \sum v_i^2$ という二階微分作用素を定義し、そのパラメトリクスを構成する。
• 任意の $k_1, k_2 \in I_c^{m,0}(\mathcal{G}, \mathcal{G}^{(0)})$ および $f \in \SS(\mathcal{G}, \phi)$ に対して $k_1 * f * k_2 \in \SS(\mathcal{G}, \phi)$ が成り立つことを証明し、$\Psi^0_s(\mathcal{G})$ が代数であることを保証する。
• スペクトル不変性に関する定理1を適用して、$P \in \Psi^0_s(\mathcal{G})$ がフレドホルム作用素であれば、その逆作用素が $\Psi^0_s(\mathcal{G})$ に属することを示す。
• $b$-計算と $c_n$-計算の群ガロア間の同相写像 $\Theta_n: \Gamma(X) \to \Gamma_n(X)$ を用い、長さ関数 $\phi(x,y,\lambda) = |\log \lambda|$ を定義し、$\Gamma_n(X)$ 上で $\phi_n = \phi \circ \Theta_n^{-1}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $b$-計算（$n=1$）が不成立であるのに対し、$n \geq 2$ の $c_n$-計算がスペクトル不変であるか？
• RQ2 連続的族群ガロア上の擬微分作用素の代数を、ホロモルフィック関数計算に関して閉じるように構成できるか？
• RQ3 多項式成長を示す長さ関数に関するシュワーツ空間の包含が、スペクトル不変性を保証するか？
• RQ4 $c_n$-計算における楕円的作用素の逆作用素が、同じ計算内に存在することを示せるか？ これによりパラメトリクスの存在が保証される。
• RQ5 群ガロアに基づく擬微分作用素計算の文脈において、シュワーツ空間とパラメトリクスの構成がどのように相互作用するか？

主な発見

• $n \geq 2$ の $c_n$-計算はスペクトル不変である。これは、この計算内での楕円的作用素の逆作用素が、同じ計算内に留まることを意味する。
• 長さ関数 $\phi$ が多項式成長を示す場合、代数 $\Psi^0_s(\mathcal{G}) = \Psi^0(\mathcal{G}) + \SS(\mathcal{G}, \phi)$ はホロモルフィック関数計算に関して閉じている。
• シュワーツ空間 $\SS(\mathcal{G}, \phi)$ は、$I_c^{m,0}(\mathcal{G}, \mathcal{G}^{(0)})$ 内の作用素との畳み込みに関して保存され、これにより $\Psi^0_s(\mathcal{G})$ が代数であることが保証される。
• 任意のフレドホルム作用素 $P \in \Psi^0_s(\mathcal{G})$ に対して、$Q \in \Psi^0_s(\mathcal{G})$ であるパラメトリクス $Q$ が存在する。これは楕円的正則性のための重要な性質である。
• $c_n$-計算の群ガロア $\Gamma_n(X)$ 上で定義される長さ関数 $\phi_n(u,v,\mu) = |\mu|$ は、多項式成長を示す well-defined な長さ関数であり、同相写像 $\Theta_n$ を通じて誘導される。
• シュワーツ空間を用いた構成は、非コンパクトな状況においてもスペクトル不変性を達成する強固な手法を提供し、$\Psi^*$-代数の適用範囲をコンパクト多様体を超えて拡張する。