[論文レビュー] Spectral invariants with bulk, quasimorphisms and Lagrangian Floer theory

Kenji Fukaya, Yong‐Geun Oh+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 83被引用数 13

ひとこと要約

本稿はシンプレクティック位相幾何学におけるバルク変形を施したスペクトル不変量を導入し、量子コhomologyによる変形を通じてハミルトニアンFloer homologyおよびスペクトル不変量を拡張する。本研究は、スペクトル不変量、シンプレクティック準状態、準準同型、およびラグランジュFloer理論の間の新たな関係を確立し、コンパクトなシンプレクティック多様体上で非可算無限個の独立な準準同型の存在を証明するとともに、特に $S^2 \times S^2$ およびトーリック多様体における新しいラグランジュ交叉結果を示す。

ABSTRACT

In this paper we first develop various enhancements of the theory of spectral invariants of Hamiltonian Floer homology and of Entovi-Polterovich theory of spectral symplectic quasi-states and quasimorphisms by incorporating \emph{bulk deformations}, i.e., deformations by ambient cycles of symplectic manifolds, of the Floer homology and quantum cohomology. Essentially the same kind of construction is independently carried out by Usher [Us4] in a slightly less general context. Then we explore various applications of these enhancements to the symplectic topology, especially new construction of symplectic quasi-states, quasimorphisms and new Lagrangian intersection results on toric manifolds. The most novel part of this paper is to use open-closed Gromov-Witten theory (operator $\frak q$ in [FOOO1] and its variant involving closed orbits of periodic Hamiltonian system) to connect spectral invariants (with bulk deformation), symplectic quasi-states, quasimorphism to the Lagrangian Floer theory (with bulk deformation). We use this open-closed Gromov-Witten theory to produce new examples. Especially using the calculation of Lagrangian Floer homology with bulk deformation in [FOOO3,FOOO4], we produce examples of compact toric manifolds $(M,ω)$ which admits uncountably many independent quasimorphisms $\widetilde{\operatorname{Ham}}(M,ω) o \mathbb R$. We also obtain a new intersection result of Lagrangian submanifolds on $S^2 imes S^2$ discovered in [FOOO6]. Many of these applications were announced in [FOOO3,FOOO4,FOOO6].

研究の動機と目的

• アンビエントサイクルを用いたバルク変形を統合することで、シンプレクティック位相幾何学におけるスペクトル不変量および準状態理論を拡張すること。
• オープン・クローズドGromov-Witten-Floer理論（作用素 $\mathfrak{q}$）を用いて、バルク付きスペクトル不変量とラグランジュFloerコホモロジーとの間の橋渡しを確立すること。
• バルク変形スペクトル不変量を用いて、新たなシンプレクティック準状態および準準同型を構成すること。
• トーリックおよび非トーリックなシンプレクティック多様体、特に $S^2 \times S^2$ におけるバルク変形Floerコホモロジーから生じる新しいラグランジュ交叉結果を証明すること。
• バルク変形Floerコホモロジーを用いて、コンパクトなシンプレクティック多様体上に非可算無限個の独立な準準同型が存在することを示すこと。

提案手法

• ビッグ量子コホモロジーとアンビエントサイクルを用いて、バルク変形スペクトル不変量およびハミルトニアンFloerホモロジーを構築する。
• オープン・クローズドGromov-Witten-Floer理論（作用素 $\mathfrak{q}$）を適用し、バルク付きスペクトル不変量とラグランジュFloerコホモロジーとの関係を確立する。
• Piunikhin同型およびその乗法的性質を用いて、スペクトル不変量の三角不等式および $C^0$-連続性を証明する。
• Poincaré双対性およびFloerホモロジー間の双対性を用いて、スペクトル不変量と準準同型構成との関係を確立する。
• バルク変形を施したSeidel作用素を用いてスペクトル不変量を検出し、$c_1(M)$ の固有値と関連付ける。
• フィルター付き $A_\infty$-代数のHochschildコホモロジーを用いて、代数的構造を通じてスペクトル不変量を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体におけるアンビエントサイクルを用いたバルク変形によって、スペクトル不変量はどのように拡張可能か？
• RQ2 オープン・クローズドGromov-Witten-Floer理論は、スペクトル不変量とラグランジュFloer理論を結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 バルク変形スペクトル不変量を用いて、新たなシンプレクティック準状態および準準同型を構成可能か？
• RQ4 非トーリックおよびトーリック多様体におけるバルク変形Floerコホモロジーから、どのような新しいラグランジュ交叉結果が得られるか？
• RQ5 コンパクトなシンプレクティック多様体上に得られる準準同型の濃度および独立性構造はいかなるものか？

主な発見

• 本稿は、バルク変形スペクトル不変量を用いて、コンパクトなシンプレクティック多様体 $M$ に対して非可算無限個の独立な準準同型 $\widetilde{\text{Ham}}(M,\omega) \to \mathbb{R}$ の存在を証明する。
• 本稿は、$S^2 \times S^2$ におけるラグランジュトーラス $T(\rho)$ に対する新しいラグランジュ交叉結果を確立し、スペクトル不変量を用いてそのスーパーヒーヴィネスを示す。
• スペクトル不変量による部分的シンプレクティック準状態 $\zeta_e^\mathfrak{b}$ の構成は、極限の存在および部分的準準同型の性質を用いて厳密に正当化される。
• 本稿は、準準同型 $\mu_e^\mathfrak{b}$ のデフォーム量を推定する不等式を提供し、それが群準同型からどれほど逸脱しているかを定量的に示す。
• 本稿は、トーリック多様体におけるラグランジュファイバーがバルク変形のもとで $\mu_e^\mathfrak{b}$-重いことを証明し、トーリック多様体上にCalabi準準同型の存在を導く。
• スペクトル不変量は、第一チエーン類 $c_1(M)$ の臨界値および固有値を検出でき、位相的不変量とシンプレクティック幾何学とを結びつける。