[論文レビュー] Spectral Properties of Hypergraph Laplacian and Approximation Algorithms

T-H. Hubert Chan, Anand Louis+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Graph theory and applications参考文献 57被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、各ハイパーエッジ内で重み付き測度が最大から最小へと流れる拡散過程に基づく、非線形ハイパーグラフラプラシアンを提案する。ハイパーグラフの拡張性に関するスペクトル的境界を確立し、k-分割のO(log r)-近似アルゴリズムを提供する。これは、Small-Set Expansion仮説下での最良の下界と一致する。

ABSTRACT

The celebrated Cheeger's Inequality establishes a bound on the edge expansion of a graph via its spectrum. This inequality is central to a rich spectral theory of graphs, based on studying the eigenvalues and eigenvectors of the adjacency matrix (and other related matrices) of graphs. It has remained open to define a suitable spectral model for hypergraphs whose spectra can be used to estimate various combinatorial properties of the hypergraph. In this paper we introduce a new hypergraph Laplacian operator generalizing the Laplacian matrix of graphs. In particular, the operator is induced by a diffusion process on the hypergraph, such that within each hyperedge, measure flows from vertices having maximum weighted measure to those having minimum. Since the operator is non-linear, we have to exploit other properties of the diffusion process to recover a spectral property concerning the "second eigenvalue" of the resulting Laplacian. Moreover, we show that higher order spectral properties cannot hold in general using the current framework. We consider a stochastic diffusion process, in which each vertex also experiences Brownian noise from outside the system. We show a relationship between the second eigenvalue and the convergence behavior of the process. We show that various hypergraph parameters like multi-way expansion and diameter can be bounded using this operator's spectral properties. Since higher order spectral properties do not hold for the Laplacian operator, we instead use the concept of procedural minimizers to consider higher order Cheeger-like inequalities. For any positive integer $k$, we give a polynomial time algorithm to compute an $O(\log r)$-approximation to the $k$-th procedural minimizer, where $r$ is the maximum cardinality of a hyperedge. We show that this approximation factor is optimal under the SSE hypothesis for constant values of $k$.

研究の動機と目的

• グラフのスペクトル理論、特にチーリング不等式を一般化するハイパーグラフのスペクトルモデルを定義すること。
• ハイパーグラフスペクトルと拡張性や直径などの組合せ的パラメータを結びつける、長年の未解決問題に取り組むこと。
• スペクトル的性質を活用して、一般の要件を伴うハイパーグラフの分割とスパーストカットの近似アルゴリズムを開発すること。
• 現在のフレームワーク下では高階スペクトル的性質が成立しないことの理由を示し、手続き的最小化子による代替策を提示すること。
• ハイパーグラフからの結果を、要因を保った還元によってグラフの頂点拡張に拡張すること。

提案手法

• 各ハイパーエッジ内で重みが大きい頂点から小さい頂点へ測度を再分配する拡散過程を用いて、非線形ハイパーグラフラプラシアンを定義する。
• 外部のブラウン運動ノイズを伴う確率的拡散過程を導入し、混合時間と収束性を分析し、それらを第二固有値と関連付ける。
• 高階固有値の代わりに手続き的最小化子を用い、k-分割拡張性に対するチーリング型不等式を可能にする。
• k番目の手続き的最小化子を近似するためのSDP緩和を定式化し、ガウス空間へのランダム射影による丸め処理を適用する。
• 濃度とモーメントの境界（例：Paley-Zygmund、コーシー・シュバルツ）を用いて丸め誤差を分析し、近似保証を確保する。
• リプシッツ写像によるメトリック埋め込みの歪み境界を用いて、SDP解と実際のハイパーグラフ拡張性を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーグラフのスペクトルモデルを定義可能か。その固有値がエッジ拡張性や直径といったハイパーグラフ拡張性パラメータを上界で抑えられるか。
• RQ2 新規ハイパーグラフラプラシアンの第二固有値と、関連する拡散過程の混合時間の関係は何か。
• RQ3 なぜ現在のフレームワーク下では高階スペクトル的性質が成立しないのか。そして、それらを意味的に置き換える方法は何か。
• RQ4 k-分割ハイパーグラフ分割の最良の近似比は何か。そして、それが効率的に達成可能か。
• RQ5 ハイパーグラフ拡張性に関する結果を、還元によってグラフの頂点拡張に移行可能か。

主な発見

• 提案されたハイパーグラフラプラシアンは非線形であり、各ハイパーエッジ内で重みが大きい頂点から小さい頂点へ測度を移動する拡散過程によって誘導される。
• ラプラシアンの第二固有値は、確率的拡散過程の混合時間と密接に関連しており、収束性のスペクトル的特徴付けを提供する。
• 新しいラプラシアンのスペクトル的性質を用いて、ハイパーグラフの拡張性と直径を上界で抑えられ、チーリング型不等式が一般化される。
• k番目の手続き的最小化子を計算するO(log r)-近似アルゴリズムが提供され、rは最大ハイパーエッジサイズである。この要因はSmall-Set Expansion仮説下で最適である。
• ハイパーグラフの結果は、要因を保った還元によってグラフの頂点拡張に拡張可能であり、本フレームワークの広範な適用可能性を示している。
• SDP緩和の丸めアルゴリズムは、近似要因O(√(log r) · Λ · Φ_H)を達成する。ここでΛは埋め込みの歪みを表し、この境界は定数確率で成立する。