[論文レビュー] Spectral stability of Schroedinger operators with subordinated complex potentials

Luca Fanelli, David Krejčiřı́k+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、3次元において複素数値で形式的劣化型のポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素のスペクトル安定性を確立する。乗数法を発展させ、ビルマン＝シュヴィンガー型の議論を適応することで、ポテンシャルが運動エネルギー形式に対して相対的に小さいという条件下ですべての臨界的特異性を持つ場合でさえ、スペクトルが純粋に連続的であり、$[0, \infty)$と一致することを証明する。

ABSTRACT

We prove that the spectrum of Schroedinger operators in three dimensions is purely continuous and coincides with the non-negative semiaxis for all potentials satisfying a form-subordinate smallness condition. By developing the method of multipliers, we also establish the absence of point spectrum for Schroedinger operators in all dimensions under various alternative hypotheses, still allowing complex-valued potentials with critical singularities.

研究の動機と目的

• 形式的劣化型条件の下で、複素数値ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素のスペクトル安定性を調査すること。
• ポテンシャルが特定の相対的形式的意味で小さいとき、摂動された作用素$H_V$のスペクトルが$[0, \infty)$に等しくかつ純粋に連続的であるかどうかを特定すること。
• ロルニククラスに属さない複素数値ポテンシャル、特に臨界的特異性を持つものに対しても、点スペクトルの不在を拡張すること。
• 非自己共役シュレーディンガー作用素に適用可能な堅牢な乗数法を開発すること。
• 与えられた小さい条件のもとで、$H_V$のスペクトルが自由ハミルトニアン$H_0$のスペクトルと一致することを確立すること。

提案手法

• この手法は形式的劣化に依存する：$\int |V| |\psi|^2 \leq a \int |\nabla \psi|^2$（$a < 1$）であり、ポテンシャル形式が運動エネルギー形式に対して相対的に有界であることを保証する。
• 残渣スペクトルの不在は、$\mathcal{T}$-自己共役性から導かれる。$H_V^* = H_{\overline{V}} = \mathcal{T} H_V \mathcal{T}$であるため、残渣スペクトルは存在しない。
• 点スペクトルの不在は、修正されたビルマン＝シュヴィンガー原理を用いて証明され、任意の$\lambda \in \mathbb{C}$に対して$L^2$固有関数が存在しないことを示す。
• 複素数ポテンシャルおよび臨界的特異性を取り扱うために、テスト関数および$|x|$、$\nabla_A u$、$V_1, V_2$を含む重み付き恒等式を用いた修正された乗数法が開発される。
• ポテンシャルを実部と虚部に分解し、$V_1 = \operatorname{Re} V$、$V_2 = \operatorname{Im} V$およびそれらの径方向微分に関する推定を行う。
• スペクトルに$[0, \infty)$が含まれることを、抽象的な二次形式基準によって確立する。これにより、スペクトルが$[0, \infty)$より小さくはならないことが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数ポテンシャル$V$が$H_0$に対して形式的劣化型であるとき、シュレーディンガー作用素$H_V = H_0 + V$のスペクトルが純粋に連続的かつ$[0, \infty)$に等しいか。
• RQ2 $|V(x)| \leq a \left(\frac{1}{2}\right)^2 |x|^{-2}$（$d=3$）というような臨界的特異性を持つ複素数ポテンシャルに対しても、点スペクトルの不在を確立できるか。
• RQ3 $V$がロルニククラスに属さない（すなわち$\|V\|_R = \infty$）場合でも、形式的劣化型条件のもとで$H_V$のスペクトルが安定するか。
• RQ4 乗数法を非自己共役シュレーディンガー作用素に、複素数ポテンシャルおよび磁場を含めて適応できるか。
• RQ5 自己共役の場合のスペクトル安定性を保証するのと同じ小さい条件のもとで、$H_V$のスペクトルが$[0, \infty)$に一致するか。

主な発見

• すべての複素数ポテンシャル$V$が、$d=3$において形式的劣化型条件$\int |V| |\psi|^2 \leq a \int |\nabla \psi|^2$（$a < 1$）を満たすとき、$H_V$のスペクトルは純粋に連続的であり、$[0, \infty)$に等しい。
• 残渣スペクトルの不在は、$H_V$が$\mathcal{T}$-自己共役であることから確立され、これは$H_V^* = H_{\overline{V}} = \mathcal{T} H_V \mathcal{T}$であるため成り立つ。
• 形式的劣化型条件のもとで、すべての$\lambda \in \mathbb{C}$（正の実数値を含む）に対して点スペクトルの不在が証明される。
• 磁場を伴うシュレーディンガー作用素に対しても、$V_1$および$V_2$に関する類似条件のもとで、点スペクトルの不在が修正された乗数法を用いて示される。
• $[0, \infty)$がスペクトルに含まれることを、二次形式基準によって示し、スペクトルに$[0, \infty)$の点が除外されないことを保証する。
• ロルニククラスに属さないポテンシャル、特にハーディのポテンシャル$|x|^{-2}$を含むが、$a < 1$の下で形式的劣化型条件を満たすため、先行研究を改善する。