[論文レビュー] Spectral statistics for the discrete Anderson model in the localized regime

François Germinet, Frédéric Klopp|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、離散アンドリソンモデルの局在的領域において、スケーリングされた固有値および局在化中心が広いエネルギースケールにわたり局所的に一様なポアソン統計を示すことを確立している。主な結果は、準位の間隔分布が、状態密度に等しい密度をもつ独立同分布の確率変数の分布に収束することであり、滑らかな不純度をもつ離散モデルにおける局在相におけるポアソン的スペクトル統計の確認を裏付ける。

ABSTRACT

We report on recent results on the spectral statistics of the discrete Anderson model in the localized phase. Our results show, in particular, that, for the discrete Anderson Hamiltonian with smoothly distributed random potential at sufficiently large coupling, the limit of the level spacing distribution is that of i.i.d. random variables distributed according to the density of states of the random Hamiltonian. This text is a contribution to the proceedings of the conference "Spectra of Random Operators and Related Topics" held at Kyoto University, 02-04/12/09 organized by N. Minami and N. Ueki.

研究の動機と目的

• 離散アンドリソンハミルトニアンの局在相における局所的スペクトル統計を特徴づけること。
• スケーリングされた固有値間隔の収束が、状態密度によって与えられる強度をもつポアソン過程に一致することを確立すること。
• 複数のエネルギースケールにわたるスケーリングされた固有値および局在化中心の同時統計を分析すること。
• 局所的およびグローバルなエネルギー領域における準位間隔および局在化中心間隔の極限分布を導出すること。
• 極限における準位間隔分布が、状態密度に等しい密度をもつ独立同分布の確率変数の分布と一致することを証明すること。

提案手法

• 周期的境界条件をもつ大きなボックス $\Lambda_L$ 上での有限体積制限 $H_{\tau,\rho}$ を用いて固有値統計を研究すること。
• 局所的密度の正規化と収束解析のため、$\xi_j = |\Lambda| \nu(E_0)(E_j - E_0)$ を用いた固有値のスケーリング。
• サイズ $|\Lambda|^{-\beta}$ のエネルギー区間において、$\beta > d/(d+2)$ を満たす範囲で一様なポアソン収束定理の適用。
• 準位間隔および局在化中心間隔の経験的分布の定義により、その極限挙動を研究すること。
• 局在化中心の列挙 $x(E)$ を用いて間隔を定義し、大きなボックス内での有限な数え上げを保証すること。
• 指定されたスケーリング条件の下で、経験的間隔分布の確率的収束およびほとんど確実収束の証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散アンドリソンモデルの局所的固有値統計は、局在相においてポアソン過程に収束するか？
• RQ2 スケーリングされた固有値間隔は、極限において状態密度に従うか？
• RQ3 スケーリングされた固有値および局在化中心の同時統計は、独立なポアソン過程に収束するか？
• RQ4 局在化領域における局在化中心間隔の極限分布は何か？
• RQ5 準位間隔および局在化中心間隔の分布は、エネルギー的に局所的およびグローバルにどのように振る舞うか？

主な発見

• スケーリングされた固有値は弱収束して、Lebesgue強度をもつポアソン過程に一致し、局所的にポアソン的スペクトル統計が確認される。
• 準位間隔分布は、状態密度 $\nu(E_0)$ に等しい密度をもつ独立同分布の確率変数の分布に収束する。
• スケーリングされた固有値および局在化中心の同時統計は、サイズ $|\Lambda|^{-\beta}$ のエネルギー区間において独立なポアソン過程に収束する。
• 局在化中心間隔の経験的分布は、$|\Lambda| \to \infty$ のとき確率的に一様に $e^{-s^d}$ に収束する。
• 無限系においては、エネルギー区間が点に収束するとき、準位間隔分布はほとんど確実に $e^{-\nu(E_0)x}$ に収束する。
• エネルギー区間 $I_L$ が固定され、連続的状態密度 $\nu$ をもつとき、間隔分布はスケーリングされた指数分布 $g_{\nu,J}(N(J)x)$ に収束する。