[論文レビュー] Spectral Statistics of Non-Hermitian Matrices and Dissipative Quantum Chaos

Jiachen Li, Tomaž Prosen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 112被引用数 100

ひとこと要約

本稿は、非エルミート行列における散逸的量子カオスを診断するため、複素固有値の密度-密度相関の複素時間におけるフーリエ変換として、散逸的スペクトル形式因子（DSFF）を導入する。複素ギニブル・アンサンブル（GinUE）およびポisson的スペクトルに対してDSFFを解析的に解き、|τ|における2次的ラムプを示すディップ-ラムプ-プラトー構造を明らかにした。これはハーミート系における線形ラムプとは対照的であり、量子キックドトップおよび古典的確率的行列において普遍性が確立される。

ABSTRACT

We propose a measure, which we call the dissipative spectral form factor (DSFF), to characterize the spectral statistics of non-Hermitian (and non-Unitary) matrices. We show that DSFF successfully diagnoses dissipative quantum chaos, and reveals correlations between real and imaginary parts of the complex eigenvalues up to arbitrary energy (and time) scale. Specifically, we provide the exact solution of DSFF for the GinUE and for a Poissonian random spectrum (Poisson) as minimal models of dissipative quantum chaotic and integrable systems respectively. For dissipative quantum chaotic systems, we show that DSFF exhibits an exact rotational symmetry in its complex time argument $ au$. Analogous to the spectral form factor (SFF) behaviour for GUE, DSFF for GinUE shows a ``dip-ramp-plateau'' behavior in $| au|$: DSFF initially decreases, increases at intermediate time scales, and saturates after a generalized Heisenberg time which scales as the inverse mean level spacing. Remarkably, for large matrix size, the ``ramp'' of DSFF for GinUE increases quadratically in $| au|$, in contrast to the linear ramp in SFF for Hermitian ensembles. For dissipative quantum integrable systems, we show that DSFF takes a constant value except for a region in complex time whose size and behavior depends on the eigenvalue density. Numerically, we verify the above claims and show that DSFF for real and quaternion real Ginibre ensembles coincides with the GinUE behaviour except for a region in complex time plane of measure zero in the limit of large matrix size. As a physical example, we consider the quantum kicked top model with dissipation, and show that it falls under the Ginibre universality class and Poisson as the `kick' is switched on or off. Lastly, we study spectral statistics of ensembles of random classical stochastic matrices, and show that these models fall under the Ginibre universality class.

研究の動機と目的

• 非エルミート的かつ非ユニタリな行列に対するスペクトル診断を構築し、任意のエネルギーおよび時間スケールにおける相関を捉えること。
• 固有値の複素時間相関関数を用いて散逸的量子カオスを特徴化すること。
• 散逸的スペクトル形式因子（DSFF）を、カオス的および可積分的散逸的系の普遍的プローブとして確立すること。
• 量子キックドトップモデルおよび古典的確率的行列において、DSFFの行動が普遍的であることを示すこと。

提案手法

• DSFFを複素固有値の二レベル相関関数の2次元フーリエ変換のα乗として定義し、Kα(t,s) = ⟨|∑_{m,n} e^{i(xn−xm)t + i(yn−ym)s}|^α⟩ として提案する。
• 複素時間τ = |τ|e^{iθ}を用い、K(τ,τ*)が複素平面におけるθ軸への固有値差の射影に依存することを表現する。
• 最小モデルとして、GinUE（カオス的）およびポisson的（可積分的）アンサンブルに対してDSFFを解析的に計算する。
• 数値シミュレーションを用いて解析結果を検証し、行列サイズおよび固有値密度への依存性を調査する。
• 散逸的量子キックドトップおよび確率的古典的行列にDSFFを適用し、GinUEと同等の普遍性を示す。
• DSFFの行動がGinUEの普遍性と一致するθの範囲を定量化するための臨界角θ*を定義し、誤差関数および曲率解析を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散逸的量子カオス系においてDSFFは普遍的行動を示すか？ハーミート系における標準的SFFとはどのように異なるか？
• RQ2 GinUEにおけるDSFFの関数的形は何か？|τ|における2次的ラムプを示すディップ-ラムプ-プラトー構造を示すか？
• RQ3 DSFFは、散逸的カオス的および可積分的系（例：量子キックドトップモデル）を区別できるか？
• RQ4 古典的確率的行列のDSFF行動は普遍的であり、GinUEと同等か？
• RQ5 臨界角θ*は行列サイズNにどのように依存するか？これは普遍的行動の範囲に何を示唆するか？

主な発見

• GinUEのDSFFは|τ|の関数としてディップ-ラムプ-プラトー構造を示し、ラムプ部は|τ|に対して2次的に増加する。これはハーミート系における線形ラムプとは対照的である。
• 大きな行列サイズにおいて、実およびクaternion的実GinibreアンサンブルのDSFFは、測度ゼロの複素時間の集合を除きGinUEの行動と一致する。
• ポisson的スペクトルのDSFFは、固有値密度に依存する領域を除き、常に一定であり、相関の欠如を示している。
• 数値結果により、散逸的量子キックドトップがキックがオンのときGinUEの普遍性クラスに属し、オフのときはポissonクラスに属することが確認された。
• 臨界角θ*はθ* ∝ N^{-1/2}とスケーリングし、行列サイズの増大に伴い普遍的領域が縮小することを示唆している。
• 古典的確率的行列およびCUEまたはGinUEから導かれるランダム行列アンサンブルも、いずれもGinUEの普遍性クラスに属することを確認し、DSFFの広範な適用可能性を裏付けた。