[論文レビュー] Spectral triples for AF C*-algebras and metrics on the Cantor set

Antonescu, Cristina, Erik Christensen|ArXiv.org|Sep 2, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 75

ひとこと要約

この論文は、AF C*-代数の自然なフィルトレーションに基づくディラック作用素を用いて、スペクトル三重対を構成する。この作用素により、状態空間に弱*-位相と一致する距離が誘導される。主要な結果として、スペクトル三重対の公理に違反せずに、ディラック作用素の固有値を任意に大きくできることが示され、この性質は特定の条件下で、ユニタリ C*-代数の中で AF 代数を特徴付ける。

ABSTRACT

An AF C*-algebra has a natural filtration as an increasing sequence of finite dimensional C*-algebras. We show that it is possible to construct a Dirac operator which relates to this filtration in a natural way and which will induce a metric for the weak*-topology on the state space of the algebra. In the particular case of a UHF C*-algebra, the construction can be made in a way, which relates directly to the dimensions of the increasing sequence of subalgebras.The algebra of continuous functions on the Cantor set is an approximately finite dimensional C*-algebra and our investigations show, when applied to this algebra, that the proposed Dirac operators have good classical interpretations and lead to an, apparently, new way of constructing a representative for a Cantor set of any given Hausdorff dimension. At the end of the paper we study the finite dimensional full matrix algebras over the complex numbers, and show that the operation of transposition on matrices yields a spectral triple which has the property that it's metric on the state space is exactly the norm distance.This result is then generalized to arbitrary unital C*-algebras.

研究の動機と目的

• AF C*-代数の帰納的極限構造を尊重するディラック作用素を用いて、スペクトル三重対を構成すること。
• 代数の状態空間に、弱*-位相と一致する距離を誘導すること。
• ディラック作用素の固有値を任意にスケーリングできるという性質が、AF C*-代数を特徴付けるかどうかを調査すること。
• Cantor 集合 X に対し、C(X) 上のスペクトル三重対を用いて、所望の Hausdorff 維度を持つ Cantor 集合を新しく構成すること。
• 全行列代数 Mn に対して、転置作用素が、状態空間上で距離が正確にノルム距離と一致するスペクトル三重対を生成することを示し、これを任意のユニタリ C*-代数へ一般化すること。

提案手法

• AF C*-代数の有限次元部分代数へのフィルトレーションと自然に作用するヒルベルト空間 H 上のディラック作用素 D を構成する。
• 代数のヒルベルト空間への表現と、S をフラップ作用素とする P = (I + S)/2 という射影を用いて、自己共役な a に対して [P, π(a)] の交換子を定義する。
• ノルムの関係式 ‖a − γI‖ = 2‖[P, π(a)]‖ を用いて、‖[P, π(a)]‖ と a とスカラー倍の単位元との距離を関連付ける。
• 状態空間 S(A) 上の距離を d(φ, ψ) = sup{|φ(a) − ψ(a)| : a ∈ A, ‖[D, a]‖ ≤ 1} として定義し、弱*-位相と整合性を持つようにする。
• Cantor 集合 X 上の C*-代数 C(X) にこの構成を適用し、得られるディラック作用素が、任意の所望の Hausdorff 維度を持つ Cantor 集合を構成する新しい方法を提供することを示す。
• Mn に対して、L²(Mn, tr) 上の転置作用素 T を用いて P = (I + T)/2 を定義し、得られるスペクトル三重対が状態空間上で正確にノルム距離を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱*-位相と一致する状態空間上の距離を誘導するスペクトル三重対が、AF C*-代数に対して構成可能か？
• RQ2 AF 代数のフィルトレーションが、距離を誘導するディラック作用素を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 スペクトル三重対の公理に違反せずに、ディラック作用素の固有値を任意にスケーリングできるという性質が、AF C*-代数を特徴付けるか？
• RQ4 Cantor 集合 X に対して C(X) 上のスペクトル三重対の構成は、所望の Hausdorff 維度を持つ Cantor 集合を生成する新しい方法を提供できるか？
• RQ5 全行列代数 Mn に対して、転置作用素が、状態空間上で距離が正確にノルム距離と一致するスペクトル三重対を生成するか？ そして、これは任意のユニタリ C*-代数へ一般化可能か？

主な発見

• AF C*-代数に対して、帰納的極限のフィルトレーションに基づくディラック作用素を用いてスペクトル三重対を構成でき、その結果、状態空間に弱*-位相と一致する距離が誘導される。
• 構成されたスペクトル三重対におけるディラック作用素の固有値は、スペクトル三重対の公理に違反せずに任意に大きくできる。
• この固有値の柔軟性は、非 AF C*-代数では不可能である。本論文では、この現象が提示された条件下で AF 代数を特徴付けることを証明している。
• Cantor 集合 X 上の C*-代数 C(X) に対して、この構成により得られるスペクトル三重対の関連する距離は、任意の所望の Hausdorff 維度を持つ Cantor 集合を構成する新しい方法を提供する。
• 全行列代数 Mn に対して、L²(Mn, tr) 上の転置作用素が、状態空間上で距離が正確にノルム距離と一致するスペクトル三重対を生成する。
• この Mn に関する結果は、任意のユニタリ C*-代数へ一般化され、転置に基づく構成が状態空間上でノルム距離を誘導することを示している。