[論文レビュー] Spectral Triples on Carnot Manifolds

Stefan Hasselmann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Carnot多様体上のスペクトル三つ組を検討し、Carnot-Carathéodory距離と階数付き次元を特定することを目的としている。水平Dirac作用素を構成することで、Connesの公式を用いて距離を検出可能であるが、それらは擬微分作用素としての擬微分性を示さず、コンパクトな解像作用素を持たない。代わりに、ヘイセンベルク擬微分作用素計算を用いて水平ラプラシアンからスペクトル三つ組を構築することを提案する。仮定7.3.2のもとでは、固有値漸近展開とConnesの距離公式を用いて、Carnot-Carathéodory距離を近似可能であることを示している。

ABSTRACT

We analyze whether one can construct a spectral triple for a Carnot manifold $M$, which detects its Carnot-Carathéodory metric and its graded dimension. Therefore we construct self-adjoint horizontal Dirac operators $D^H$ and show that each horizontal Dirac operator detects the metric via Connes' formula, but we also find that in no case these operators are hypoelliptic, which means they fail to have a compact resolvent. First we consider an example on compact Carnot nilmanifolds in detail, where we present a construction for a horizontal Dirac operator arising via pullback from the Dirac operator on the torus. Following an approach by Christian Bär to decompose the horizontal Clifford bundle, we detect that this operator has an infinite dimensional kernel. But in spite of this, in the case of Heisenberg nilmanifolds we will be able to discover the graded dimension from the asymptotic behavior of the eigenvalues of this horizontal Dirac operator. Afterwards we turn to the general case, showing that any horizontal Dirac operator fails to be hypoelliptic. Doing this, we develop a criterion from which hypoellipticity of certain graded differential operators can be excluded by considering the situation on a Heisenberg manifold, for which a complete characterization of hypoellipticity in known by the Rockland condition. Finally, we show how spectral triples can be constructed from horizontal Laplacians via the Heisenberg pseudodifferential calculus developed by Richard Beals and Peter Greiner. We suggest a few of these constructions, and discuss under which assumptions it may be possible to get an equivalent metric to the Carnot-Carathéodory metric from these operators. In addition, we mention a formula by which the Carnot-Carathéodory metric can be detected from arbitrary horizontal Laplacians.

研究の動機と目的

• Carnot多様体上にスペクトル三つ組を構築できるかどうかを検証し、Carnot-Carathéodory距離と階数付き次元を特定すること。
• 水平Dirac作用素の限界、特に擬微分性の欠如とコンパクトな解像作用素の欠如を分析すること。
• 水平ラプラシアンとヘイセンベルク擬微分作用素計算を用いて、代替的なスペクトル三つ組の構築法を提案すること。
• このような作用素からのConnes距離がCarnot-Carathéodory距離をどの程度近似できるかを調査すること。
• 階数付き微分作用素の擬微分性を排除する基準を、ヘイセンベルクの場合に還元することで確立すること。

提案手法

• コンパクトなCarnot-nilmanifold上では、トーラス上のDirac作用素の引き戻しによって自己随伴な水平Dirac作用素を構成する。
• Christian Bärの水平クリフォードバンドル分解法を用いて、Dirac作用素の核を分析する。
• 水平Dirac作用素は擬微分性を欠くものの、Connesの公式を用いてCarnot-Carathéodory距離を検出可能であることを示す。
• ヘイセンベルク擬微分作用素計算（Beals-Greiner）を用いて、水平ラプラシアンからスペクトル三つ組を構築する。
• 擬微分性とコンパクトな解像作用素を回復するために、正則化作用素 $ D^\theta_H = D_H + \theta P (\Delta_H)^{1/2} P $ を提案する。
• 距離の近似を保証するため、仮定7.3.2（$ \|[P,f]\| \leq C \cdot \mathrm{Lip}_{CC}(f) $ なる一様有界性）に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Carnot多様体上のスペクトル三つ組は、Carnot-Carathéodory距離と階数付き次元を検出可能か？
• RQ2 水平Dirac作用素はなぜ擬微分性を欠くのか？その結果、スペクトル三つ組にどのような影響を与えるか？
• RQ3 水平ラプラシアンから構築されたスペクトル三つ組が、Carnot-Carathéodory距離をどの程度近似可能か？
• RQ4 ヘイセンベルク-nilmanifold上での水平Dirac作用素の固有値漸近挙動から、階数付き次元を回復できるか？
• RQ5 Carnot多様体上にコンパクトな解像作用素を持つスペクトル三つ組を構築する有効な方法はあるか？

主な発見

• 水平Dirac作用素はConnesの公式を用いてCarnot-Carathéodory距離を検出可能だが、擬微分性を欠くとともに、コンパクトな解像作用素を持たない。
• ヘイセンベルク-nilmanifold上では、水平Dirac作用素の固有値漸近挙動から階数付き次元を回復可能である。
• コンパクトなCarnot-nilmanifold上での水平Dirac作用素は、クリフォードバンドル分解により無限次元の核を持つことが示された。
• 正則化作用素 $ D^\theta_H = D_H + \theta P (\Delta_H)^{1/2} P $ は擬微分的であり、コンパクトな解像作用素を持つスペクトル三つ組を定義する。
• 仮定7.3.2が成り立つ限り、$ \theta \to 0 $ のとき、$ D^\theta_H $ からのConnes距離はCarnot-Carathéodory距離に収束する。
• 任意の水平ラプラシアンから、特定の作用素の選択に依存しないCarnot-Carathéodory距離の特定式が得られた。