[論文レビュー] Spherical waves of spin 1 particle in anti de Sitter space-time

Е. М. Ovsiyuk, В. М. Редьков|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 69被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、3つの異なる形式を用いて、反ド・ジッター時空におけるスピン1粒子場の包括的解析を提示する。すなわち、 tetradゲージにおけるDuffin-Kemmer-Petiau (DKP) 行列形式、5次元SO(3.2)群論的アプローチ、およびマクスウェル方程式の複素リーマン＝シルベスタイン＝マジョラナ＝オッペンハイマー表現である。球面波解の完全な集合が得られ、量子数 $(\epsilon, j, m, l)$ を持つ。エネルギーの量子化 $\omega_{n,j} = \frac{c}{\rho}(2n + j + 1)$ が確立され、ローレンツゲージにおける電磁場解が構成され、この曲がった、最大対称的時空における離散的エネルギー準位が確認された。

ABSTRACT

Three possible techniques to deal with a vector particle in the anti de Sitter cosmological model are viewed: Duffin-Kemmer-Petiau matrix formalism based on the general tetrad recipe, group theory 5-dimensional approach based on the symmetry group SO(3.2), anda tetrad form of Maxwell equations in complex Riemann-Silberstein-Majorana-Oppenheimer representation. In the first part, a spin 1 massive field is considered in static coordinates of the anti de Sitter space-time in tetrad-based approach. The complete set of spherical wave solutions with quantum numbers (ε, j,m,l) is constructed; angular dependence in wave functions is described with the help of Wigner functions. The energy quantization rule has been found. Transition to massless case of electromagnetic field is specified, and electromagnetic solutions in Lorentz gauge have been constructed. In the second part, the problem of a particle with spin 1 is considered on the base of 5-dimensional wave equation specified in the same static coordinates. In the third part, a rarely used approach, based on tetrad form of Maxwell equations in complex representation is examined in the anti de Sitter model.

研究の動機と目的

• 反ド・ジッター時空におけるスピン1場（質量あり・質量なし）の完全な解析的取り扱いを提供すること。
• その高次対称性とトポロジー的関心にもかかわらず、反ド・ジッター幾何におけるベクトル粒子の明示的解が不足しているという問題に応えること。
• あまり使われないDuffin-Kemmer-Petiau形式を、特に反ド・ジッター時空を含む曲がった時空に適用すること。
• スピン1場の運動方程式を解くために、3つの異なる形式（DKP、5次元SO(3.2)群論、複素テンソル形式のマクスウェル方程式）を比較すること。
• Wigner関数による全角運動量依存性を伴う球面波解を導出し、エネルギーの量子化則を確立すること。

提案手法

• 静的反ド・ジッター座標系におけるスピン1場に対して、tetradに基づくDuffin-Kemmer-Petiau (DKP) 行列形式を採用した。
• スピン1場の5次元波動方程式を導出するために、5次元SO(3.2)群論的枠組みを用いた。
• 電磁場に対して、tetrad形式の複素リーマン＝シルベスタイン＝マジョラナ＝オッペンハイマー表現のマクスウェル方程式を用いた。
• 変数変換 $ z = -r^2 $ を用いて、得られた径方向方程式を超幾何型微分方程式に変換した。
• 物理的に妥当な解を選択するために、$ r = 0 $ および $ r \to \infty $ における境界条件を適用し、$ a = (j+1)/2 $ および $ b = -\omega/2 $ を要求した。
• パラメータ $ \alpha = \frac{j+1}{2} - \frac{\omega}{2} $、$ \beta = \frac{j+1}{2} - \frac{\omega}{2} + \frac{1}{2} $、$ \gamma = 2a + \frac{1}{2} $ を持つ超幾何関数解を用い、$ \alpha = -n $ により多項式解を強制した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DKP形式を用いた反ド・ジッター時空におけるスピン1粒子の完全な球面波解は何か？
• RQ2 反ド・ジッター時空におけるスピン1場のエネルギー準位は、径方向波動方程式からどのように導かれるのか？また、その量子化則は何か？
• RQ3 複素テンソル形式のマクスウェル方程式は、特にローレンツゲージにおいて、反ド・ジッター幾何における一貫性のある電磁場解をもたらすか？
• RQ4 DKP、5次元SO(3.2)、複素マクスウェル形式という3つの形式は、反ド・ジッター時空におけるスピン1場の取り扱いにおいて、どのように比較できるか？
• RQ5 Wigner関数は、この曲がった時空におけるスピン1波動関数の角運動量依存性を記述する上で、果たす役割は何か？

主な発見

• 反ド・ジッター時空におけるスピン1粒子のエネルギー量子化則は、$ \omega_{n,j} = \frac{c}{\rho}(2n + j + 1) $ として導出された。ここで $ n = 0,1,2,\ldots $、$ j $ は全角運動量量子数、$ \rho $ は曲率半径である。
• 量子数 $ (\epsilon, j, m, l) $ を持つ球面波解が構成され、角運動量依存性はWigner関数によって完全に記述された。
• 質量零限界への遷移は、ローレンツゲージにおける一貫性のある電磁場解をもたらし、この形式が光子場に対して有効であることを確認した。
• 径方向方程式は、$ G(z) = z^a(1-z)^b F(z) $ を用いた超幾何型微分方程式に還元され、$ a = \frac{j+1}{2} $、$ b = -\frac{\omega}{2} $、多項式解のための $ \alpha = -n $ が成り立つ。
• 量子化条件 $ \alpha = -n $ は、離散的エネルギー準位 $ \omega_{n,j} = \frac{c}{\rho}(2n + j + 1) $ を導き、反ド・ジッター時空のコンパクトトポロジーによる離散スペクトルが確認された。
• マクスウェル方程式の複素テンソル形式は、曲がった反ド・ジッター時空における古典的電磁場を記述する簡潔で洗練された枠組みを提供する。