[論文レビュー] Spherically Symmetric Static States of Wave Dark Matter

Alan R. Parry|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2012

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、波動的ダークマターのためのアインシュタイン＝クライン＝ゴルドン方程式の球対称静的解を分析し、低場限界において、静的状態の質量プロファイルが、理論の基本的パラメータ $\Upsilon$ が一定である双曲線に沿うことを示している。この双曲線的関係により、観測データと照らし合わせて $\Upsilon$ を直接テストでき、波動的ダークマターがダークマター候補として妥当かどうかを評価できる。

ABSTRACT

In this paper, we present two observations about static spherically symmetric solutions of the Einstein-Klein-Gordon equations. The first is a comment extending the well-known result of the existence of static states (i.e. standing wave solutions) of the Einstein-Klein-Gordon equations. The second more important observation shows that, in the low field limit, the mass profiles of these static states lie along hyperbolas of constant $Υ$, the fundamental constant of the Einstein-Klein-Gordon equations.

研究の動機と目的

• 波動的ダークマターにおける複素数値のスカラー場アンザッツが静的解をもたらす条件を明確化すること。
• アインシュタイン＝クライン＝ゴルドン系における球対称静的状態の低場限界における振る舞いを調査すること。
• 低場領域における質量、半径、および基本定数 $\Upsilon$ 間の不変スケーリング関係を特定すること。
• 特定の励起状態に対して、質量プロファイルが $\Upsilon$ が一定の双曲線上に位置することを示し、観測的制約を可能にすること。

提案手法

• 極座標の面積座標を用いて球対称な状況下でアインシュタイン＝クライン＝ゴルドン方程式を導出し、アンザッツ $f(t,r) = e^{i\omega t}F(r)$ を採用する。
• 静的条件を $M_t \equiv 0$ とすることにより、$F(r)$ の位相 $a(r)$ が定数でなければならないことを導出する。
• 低場近似を適用し、$\mu_0$ が小さいとき有効なポアソン＝シュレーディンガー方程式系に簡略化する。
• 低場方程式に対してスケーリング解析を実施し、$\mu_0 \to \alpha^4\hat{\mu}_0$ により $r \to \hat{r}/\alpha$、$M \to \hat{M}/\alpha$、$V \to \hat{V}/\alpha^2$、および $\Upsilon - \omega \to \alpha^2(\Upsilon - \hat{\omega})$ と変換されることを示す。
• キーとなる関係式 $m r_h = C_{\text{mass}} C_{\text{radius}} / \Upsilon^2$ を導出し、$\Upsilon$ が固定されている場合、$m r_h$ が一定であることを示す。
• スケーリング不変性を用いて、特定の励起状態に対して、$\Upsilon$ が一定のとき、$m$-$r_h$ 平面上の質量プロファイルが双曲線上に位置することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動的ダークマターにおける複素数値アンザッツが静的解をもたらすために、スカラー場の位相にどのような条件が必要か？
• RQ2 低場近似下で、静的状態の質量と半径はどのようにスケーリングされ、どのような不変量が出現するか？
• RQ3 低場限界において、質量プロファイルと基本定数 $\Upsilon$ 間にどのような幾何的関係が存在するか？
• RQ4 固定された $\Upsilon$ に対して $m r_h = \text{constant}$ である双曲線的関係を、観測データから $\Upsilon$ を制約するために利用できるか？

主な発見

• 静的解を得るためには、スカラー場の位相 $a(r)$ が定数でなければならない。そうでなければ、質量関数 $M(t,r)$ は時間とともに変化する。
• 低場限界において、アインシュタイン＝クライン＝ゴルドン系は、$\Delta V = 4\pi \mu$ および $\frac{1}{2\Upsilon} \Delta F \approx (\Upsilon - \omega)F + \Upsilon V F$ を満たすポアソン＝シュレーディンガー方程式系に簡略化される。
• 系は近似的に、$\mu_0 \to \alpha^4 \hat{\mu}_0$、$r \to \hat{r}/\alpha$、$M \to \hat{M}/\alpha$、$V \to \hat{V}/\alpha^2$、および $\Upsilon - \omega \to \alpha^2(\Upsilon - \hat{\omega})$ のスケーリングに対して不変性を示す。
• 特定の励起状態に対して、$\Upsilon$ を固定すると、積 $m r_h$ が一定となり、$m$-$r_h$ 平面上で双曲線的関係 $m r_h = k$ が得られる。
• 同じ $n^{\text{th}}$ 衝撃状態および固定された $\Upsilon$ に対して、$\mu_0$ の値に関わらず、すべての質量プロファイルは同一の双曲線上に位置する。これは図4の数値例でも確認されている。
• この双曲線的関係により、直接的な観測的テストが可能となる。観測された質量プロファイルが一定の $\Upsilon$ の双曲線と一致すれば、$\Upsilon$ の値が制約される。