[論文レビュー] Spin(9) geometry of the octonionic Hopf fibration

Liviu Ornea, Maurizio Parton+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、八元数的ホップ fibration $S^{15} \to S^8$ の Spin(9) 幾何を調査し、$S^{15}$ 上の任意の垂直ベクトル場が少なくとも1つの零点を持つことを証明することで、$S^1$-部分ファイブレーションの非存在を再証明する。さらに、コンパクトで局所的に conformally 平行な Spin(9)-多様体を分類し、それらが $S^{15} \times \mathbb{R}$ の有限被覆であることを示し、$\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ の有限部分群を用いてそれらの多様体を完全に列挙する。

ABSTRACT

We deal with Riemannian properties of the octonionic Hopf fibration S^{15}-->S^8, in terms of the structure given by its symmetry group Spin(9). In particular, we show that any vertical vector field has at least one zero, thus reproving the non-existence of S^1 subfibrations. We then discuss Spin(9)-structures from a conformal viewpoint and determine the structure of compact locally conformally parallel Spin(9)-manifolds. Eventually, we give a list of examples of locally conformally parallel Spin(9)-manifolds.

研究の動機と目的

• 八元数的ホップファイブレーション $S^{15} \to S^8$ のリーマン幾何的性質を、その $\mathrm{Spin}(9)$ 対称性を用いて分析すること。
• $S^{15}$ 上のすべての垂直ベクトル場が少なくとも1つの零点を持つことを示すことにより、$S^1$-部分ファイブレーションの非存在を再証明すること。
• 一般に局所的に conformally 平行な $G$-構造の枠組みを完成させ、$G = \mathrm{Spin}(9)$ の場合を扱うこと。
• コンパクトで局所的に conformally 平行な $\mathrm{Spin}(9)$-多様体を分類し、$\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ の有限部分群を用いて明示的な例を提供すること。

提案手法

• 八元数的ホップファイブレーションの幾何を分析するために、$\mathrm{SO}(8)$ における三重性から導かれる $\mathrm{Spin}(9)$ の $S^{15}$ 上の作用を利用する。
• 三重性の原理を適用し、$S^{15}$ 上に固定点を持たない対角部分群 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ を構成する。
• 局所的に conformally 平行な $\mathrm{Spin}(9)$-構造の文脈において、リー形式とリー接ベクトル場を分析し、リー接ベクトル場が常に消失しないことを示す。
• コンパクトで局所的に conformally 平行な $\mathrm{Spin}(9)$-多様体に、8次元の標準的 foliation を構成する。
• $S^{15}$ 上に固定点を持たない作用をなす $\mathrm{Sp}(1)_\Delta$ の有限部分群を特定することで、このような多様体を分類する。この際、$\mathrm{Sp}(1)$ の既知の有限部分群の分類を用いる。
• コンパクトで局所的に conformally 平行な $\mathrm{Spin}(9)$-多様体の普遍被覆は、$S^{15}$ のコーンである $\mathbb{R}^{16} \setminus \{0\}$ に conformally 同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 八元数的ホップファイブレーション $S^{15} \to S^8$ のファイバーに接する $S^{15}$ 上の任意の垂直ベクトル場は、必ず零点を持つのか？
• RQ2 八元数的ホップファイブレーションにおける $S^1$-部分ファイブレーションの非存在は、$S^{15}$ 上のベクトル場解析を用いて再証明可能か？
• RQ3 局所的に conformally 平行な $\mathrm{Spin}(9)$-構造をもつコンパクト多様体の構造はいかなるものか？
• RQ4 $S^{15}$ 上での有限群作用を用いて、このようなすべてのコンパクト多様体をどのように分類できるか？
• RQ5 $\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ の有限部分群のうち、$S^{15}$ 上に固定点を持たないものはどれか？ それに対応する $\mathrm{Spin}(9)$-多様体は何か？

主な発見

• 八元数的ホップファイブレーション $S^{15} \to S^8$ のファイバーに接する $S^{15}$ 上の任意のグローバルなベクトル場は、少なくとも1つの零点を持つ。これは、$S^1$-部分ファイブレーションの非存在を確認する。
• コンパクトで局所的に conformally 平行な $\mathrm{Spin}(9)$-多様体のリーマンの普遍被覆は、$S^{15}$ のコーンである $\mathbb{R}^{16} \setminus \{0\}$ に conformally 同値である。
• このような多様体は $S^{15} \times \mathbb{R}$ の有限被覆であり、標準的な8次元のfoliationをもつ。
• コンパクトで局所的に conformally 平行な $\mathrm{Spin}(9)$-多様体の分類は、$S^{15}$ 上に固定点を持たない $\mathrm{Sp}(1)_\Delta \subset \mathrm{Spin}(9)$ の有限部分群の特定に帰着される。
• すべてのこのような多様体は、$\mathrm{Sp}(1)$ の有限部分群（巡回群、2次元対称群、四面体群、八面体群、二十面体群）を $\mathrm{Sp}(1)_\Delta$ に上げることで得られ、明示的な生成元が提供される。
• 任意のこのような多様体におけるリー接ベクトル場は常に消失せず、これは $\mathrm{Spin}(7)_\Delta$-構造の存在を示し、等長分類を固定点を持たない $S^{15}$ 上の作用に帰着させる。