[論文レビュー] Spinor modules for Hamiltonian loop group spaces

Yiannis Loizides, Eckhard Meinrenken+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、固有のハミルトニアン・ループ群空間 $\mathcal{M}$ の接 bundle を、Sobolev $\frac{1}{2}$-完成を用いて強シンプレクティック $LG$--equivariant バンドルに正規化し、その上で $LG$-不変かつ相性のとれた複素構造を、極化類の中で canonical に与えることで、$\operatorname{Spin}_{c}$-構造を構成する。得られるスピンルーブルモジュール $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ は、2 つの方法により有限次元への還元を可能にする：アーベル化による $T$-不変部分多様体への還元、および準ハミルトニアン $G$-空間対応を通じたねじれ。これにより、有限次元商空間上に $LG$-不変の $\operatorname{Spin}_{c}$-構造が得られる。

ABSTRACT

Let $LG$ be the loop group of a compact, connected Lie group $G$. We show that the tangent bundle of any proper Hamiltonian $LG$-space $\mathcal{M}$ has a natural completion $\overline{T}\mathcal{M}$ to a strongly symplectic $LG$-equivariant vector bundle. This bundle admits an invariant compatible complex structure within a natural polarization class, defining an $LG$-equivariant spinor bundle $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$, which one may regard as the Spin$_c$-structure of $\mathcal{M}$. We describe two procedures for obtaining a finite-dimensional version of this spinor module. In one approach, we construct from $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ a twisted Spin$_c$-structure for the quasi-Hamiltonian $G$-space associated to $\mathcal{M}$. In the second approach, we describe an `abelianization procedure', passing to a finite-dimensional $T\subset LG$-invariant submanifold of $\mathcal{M}$, and we show how to construct an equivariant Spin$_c$-structure on that submanifold.

研究の動機と目的

• 固有のハミルトニアン・ループ群空間 $\mathcal{M}$ に対して、その接 bundle が無限次元的かつ弱シンプレクティックであるにもかかわらず、canonical な $LG$-equivariant $\operatorname{Spin}_{c}$-構造を定義すること。
• 接 bundle $T\mathcal{M}$ に強シンプレクティック構造がないという欠如を補うために、強シンプレクティック 2-形式と $LG$-不変な相性のとれた複素構造を備えた完成 $\overline{T}\mathcal{M}$ を構成すること。
• 2 つの異なる幾何的還元手続き（アーベル化と準ハミルトニアン還元）を通じて、無限次元スピンルーブルモジュール $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ の有限次元類似物を提供すること。
• 対応空間 $\mathcal{N}$ を用いて、$\mathcal{M}$ に関連する有限次元の準ハミルトニアン $G$-空間 $M$ 上にねじれ $\operatorname{Spin}_{c}$-構造を確立すること。

提案手法

• 固有のハミルトニアン $LG$-空間 $\mathcal{M}$ の接 bundle $T\mathcal{M}$ は、軌道方向における Sobolev $\frac{1}{2}$-完成を用いて $\overline{T}\mathcal{M}$ に完成され、強シンプレクティック $LG$-equivariant ベクトル bundle が得られる。
• $\overline{T}\mathcal{M}$ 上に、特徴的な極化類内での $LG$-不変かつ相性のとれた複素構造 $J$ が構成され、ホモトピーを除いて一意である。これにより、$\mathbb{Z}_2$-graded スピンルーブル bundle $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ が正しく定義される。
• スピンルーブルモジュール $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ は、対応空間 $\mathcal{N}$ に引き戻され、$\mathcal{N}$ は自由な $LG \times G$-作用をもち、商として $\mathcal{M}$ と $M$ を持つ。これにより、$LG$-作用による還元が可能になる。
• $\operatorname{Spin}$ 中心拡大 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$ を用いて、$q^*TM$ 上に $LG$-equivariant $\operatorname{Spin}_{c}$-構造を構成し、中心拡大が Kac-Peterson 2-コchain を介して非自明に作用する。
• この構成により、有限次元の準ハミルトニアン $G$-空間 $M$ 上にねじれ $\operatorname{Spin}_{c}$-構造が得られ、関連するスピンルーブルモジュール $\mathsf{S}_{q^*TM}$ を持つ。これは、$LG$-equivariant homotopy を除いて canonical である。
• アーベル化手続きにより、$LG$-不変な $T$-部分多様体 $\mathcal{M}_T \subset \mathcal{M}$ が構成され、スピンルーブルモジュールの制限により、$\mathcal{M}_T$ 上に $LG$-equivariant $\operatorname{Spin}_{c}$-構造が構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有のハミルトニアン・ループ群空間の接 bundle を、強シンプレクティック $LG$-equivariant バンドルに canonical に完成させる方法は何か？
• RQ2 極化類は、完成された接 bundle 上での $LG$-不変かつ相性のとれた複素構造の選択に果たす役割は何か？
• RQ3 無限次元スピンルーブルモジュール $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ をどのようにして $M$ や $\mathcal{M}_T$ 上の有限次元 $\operatorname{Spin}_{c}$-構造に還元できるか？
• RQ4 スピン中心拡大 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$ が、$M$ 上のねじれ $\operatorname{Spin}_{c}$-構造の構成において果たす幾何学的・位相的意義は何か？

主な発見

• 任意の固有のハミルトニアン $LG$-空間 $\mathcal{M}$ の接 bundle $T\mathcal{M}$ は、$\omega$ が $\overline{T}\mathcal{M}$ 上に強シンプレクティック 2-形式に拡張可能な canonical $LG$-equivariant 完成 $\overline{T\mathcal{M}}$ を持つ。
• $\overline{T}\mathcal{M}$ は、特徴的な極化類内での $LG$-不変かつ相性のとれた複素構造 $J$ を持ち、ホモトピーを除いて一意である。これにより、$\mathbb{Z}_2$-graded スピンルーブル bundle $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ の構成が可能になる。
• スピンルーブルモジュール $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ は、$\mathcal{M}$ 上に $LG$-equivariant $\operatorname{Spin}_{c}$-構造を定める。これは、有限次元における $\operatorname{Spin}_{c}$-構造の自然な無限次元類似物である。
• 対応空間 $\mathcal{N}$ を通じて、$\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ は $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}} \times G$-equivariant $\operatorname{Spin}_{c}$-構造を $q^*TM$ 上に誘導し、関連するスピンルーブルモジュール $\mathsf{S}_{q^*TM}$ を持つ。これは、$LG$-equivariant homotopy を除いて canonical である。
• アーベル化手続きにより、有限次元の $T$-不変部分多様体 $\mathcal{M}_T \subset \mathcal{M}$ が得られ、スピンルーブルモジュールの制限により、$\mathcal{M}_T$ 上に $LG$-equivariant $\operatorname{Spin}_{c}$-構造が構成される。
• 中心拡大 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$ は、双対コクセター数 $\mathsf{h}^\vee$ に等しいレベルで実現され、Kac-Peterson 2-コchain $\psi_{KP}$ が中心作用を $\psi_{KP}(\xi,\zeta) = 2\pi\mathsf{i}\,\mathsf{h}^\vee \int_{S^1} B^{\operatorname{basic}}(d\xi, \zeta)$ として符号化する。