[論文レビュー] Twisted wild character varieties

Philip Boalch, Daisuke Yamakawa|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、分数乗数を含む形式的正規形をもつ Stokes データを含むように、野生的キャラクター多様体の代数的構成を拡張することで、ねじれ野生的キャラクター多様体を導入する。主な貢献は、ねじれのない場合を一般化するねじれ Stokes 表現のための準ハミルトニアン枠組みを提供することであり、Painlevé階層やトーラス絡み目のHOMFLY多項式に関連する新しい例を可能にする。

ABSTRACT

We will construct twisted versions of the wild character varieties.

研究の動機と目的

• 分数乗数を含む形式的正規形を持つ Stokes データを含むように、野生的キャラクター多様体の代数的構成を拡張すること。これは、Airy 方程式に現れるように。
• 2次元 TQFT や BPS 状態の数え上げへの応用を動機として、非定数群 torsor によるねじれの局所系を組み込むこと。
• キャラクター多様体のための準ハミルトニアン枠組みをねじれの設定に一般化し、シンプレクティックおよびポアソン構造を保つこと。
• ねじれ野生的キャラクター多様体と既知の可積分系（例：Painlevé I 階層および Mumford 系）との関係を確立すること。
• Dynkin 図の分類および乗法的クーヴィア多様体をねじれの設定に拡張するための基盤を提供すること。

提案手法

• 群作用とねじれ群への値をとるモーメント写像を用いて、ねじれ Stokes 表現に準ハミルトニアンアプローチを適応する。
• 再帰的群による滑らかなアフィン多様体の乗法的シンプレクティック商としてねじれキャラクター多様体を構成し、モーメント写像にねじれ Stokes 多重性を含める。
• 分岐被覆写像 $\pi: \Delta' \to \Delta$, $w \mapsto z = w^r$ を用いて、ねじれのない状況に被覆空間上で還元する。
• 基底円板から被覆空間への局所系および Stokes データの持ち上げを行い、特性格子が $\partial'$ 上の定数格子に持ち上がるように保証する。
• ねじれのない状況における $\Delta'$ 上の引き戻しによりねじれ Stokes 群を定義し、$d$ が $\Delta'$ の最初のシート上にあるとき $\operatorname{Sto}_{\pi(d)} = \operatorname{Sto}'_d$ を示す。
• 不規則型の形式的記法 $Q = \sum A_i/w^i \in \mathfrak{t}((w))/\mathfrak{t}[[w]]$ を用いて、ねじれ不規則型をねじれのないデータの言語で記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数乗数を含む形式的正規形を持つ Stokes データを含むように、野生的キャラクター多様体の代数的構成をどのように一般化できるか？
• RQ2 局所系が非定数群の torsor であるようなねじれ Stokes 表現に対して、適切な準ハミルトニアン構造は何か？
• RQ3 ねじれ野生的キャラクター多様体は、Painlevé I 階層や Mumford 系といった既知の可積分系とどのように関係するか？
• RQ4 Dynkin 図による野生的キャラクター多様体の分類をねじれの設定に拡張できるか？
• RQ5 ねじれ Stokes データとトーラス絡み目の不変量（例：HOMFLY 多項式）との幾何的関係は何か？

主な発見

• 空間 $\,{}_{G}^{\phantom{c}}\mathcal{A}_{H}^{c} = G \times H(\partial) \times U_{\pm}^{(k)}$ は、モーメント写像 $\mu = (\mu_G, \mu_H)$ を持つねじれ準ハミルトニアン $G \times H$-空間であり、$\mu_G(C, \mathbf{S}, h) = C^{-1} h S_k \cdots S_1 C$ および $\mu_H(C, \mathbf{S}, h) = h^{-1}$ である。
• ねじれ Stokes 群は、分岐被覆上のねじれのない Stokes 群と同型であり、$d$ が $\Delta'$ の最初のシート上にあるとき $\operatorname{Sto}_{\pi(d)} = \operatorname{Sto}'_d$ である。
• 分岐被覆の構成により、ねじれのない状況に還元可能であり、Stokes データおよび群構造が適切に定義され、幾何的に整合的であることが保証される。
• ここに構成されたねじれ野生的キャラクター多様体は、野生的ヒチン空間の基礎となる滑らかな多様体と微分同相である。これにより、ハイパーケーラー幾何学および可積分系と結びつく。
• この枠組みは、SYZ ミラー対称性プログラムにおける特別ラグランジュ分離可能ファイブレーションの研究に自然な設定を提供し、双対トーラスファイブレーションに関して双対性が閉じている。
• $I = \langle z^{-c}\rangle$ を持つねじれ野生的キャラクター多様体とトーラス絡み目のHOMFLY多項式との間には、予想的な関係が確立されており、Stokes 図の位相的構造に基づく。