[論文レビュー] Splitting curves on a rational ruled surface, the Mordell-Weil groups of hyperelliptic fibrations and Zariski pairs

Hiro‐o Tokunaga|ArXiv.org|May 1, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有理ルール表面における曲線の分裂の相互法則を確立し、二重被覆の位相と双曲的ファイブレーションのモーデル＝ヴェイユ群を結びつける。曲線の二重被覆における分裂の性質は、楕円ファイブレーション表面におけるセクションの算術に支配され、幾何的・算術的双対性を用いて、6次曲線のザリスキ対を新たな方法で構成する。

ABSTRACT

Let $Σ$ be a smooth projective surface, let $f' : S' o Σ$ be a double cover of $Σ$ and let $μ: S o S'$ be the canonical resolution. Put $f = f'\circμ$. An irreducible curve $C$ on $Σ$ is said to be a splitting curve with respect to $f$ if $f^*C$ is of the form $C^+ + C^- + E$, where $C^- = σ_f^*C^+$, $σ_f$ being the covering transformation of $f$ and all irreducible components of $E$ are contained in the exceptional set of $μ$. In this article, we show that a kind of "reciprocity" of splitting curves holds for a certain pair of curves on rational ruled surfaces. As an application, we consider the topology of the complements of certain curves on rational ruled surfaces.

研究の動機と目的

• 有理ルール表面における曲線の分裂の幾何的相互法則を定式化すること。
• 二重被覆と楕円ファイブレーションを用いて、有理ルール表面における曲線の補集合の位相を研究すること。
• モーデル＝ヴェイユ群と分裂除算子の相互作用を用いて、6次曲線の新しいザリスキ対を構成すること。
• 代数的表面と分岐被覆の文脈における2次相互法則の幾何的解釈を提供すること。

提案手法

• 二重被覆による引き戻しの結果が共役成分と特異除算子の和に分解されるような、既約曲線としての分裂曲線を定義する。
• 二重被覆の正規化を用いて、引き戻しの構造とその成分を分析する。
• 関連する双曲的ファイブレーションのモーデル＝ヴェイユ群と曲線の分裂性質との関係を確立する。
• 分岐locusが $\Delta_{0,2n} + T_{2n}^{(\nu)}$ の形をとり、$T_{2n}^{(\nu)}$ が既約かつ単純特異点を持つように、ヒルツェブルフ表面の二重被覆を構成する。
• 楕円ファイブレーションの一般ファイバーにおける群演算を用いて、 torsion 点から生じるセクションを同定し、それらを二次曲線と四次曲線に関連付ける。
• 文献[2]の基準を適用し、モーデル＝ヴェイユ群における分割条件と可除性に基づいて、$2C + nQ$ を分岐locusとする $D_{2n}$-被覆が存在するかを判定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理ルール表面における曲線 $D$ が、二重被覆に関して分裂曲線となる条件は何か？
• RQ2 有理ルール表面における双曲的ファイブレーションのモーデル＝ヴェイユ群は、曲線の分裂性質をどのように制御するか？
• RQ3 分裂曲線の相互法則を用いて、6次曲線のザリスキ対を構成できるか？
• RQ4 二重被覆の文脈において、分裂条件 $f^*\mathcal{D} = \mathcal{D}^+ + \mathcal{D}^- + E$ の幾何的・算術的意義は何か？

主な発見

• 有理ルール表面では、曲線の分裂に関する相互法則が成り立つ。ここで、ある曲線の二重被覆における分裂は、関連するファイブレーションのモーデル＝ヴェイユ群によって決定される。
• $2C + nQ$ を分岐locusとする $D_{2n}$-被覆の存在は、$2(\Delta_{0,2} + \Delta_C) + nT_Q$ を分岐locusとする $D_{2n}$-被覆の存在と同倹である。ここで $Q$ は $2a_1$ または $a_3$ 特異点を持つ四次曲線である。
• 2つの6次曲線のザリスキ対が構成された：1つは $2a_1$ 特異点を持つ四次曲線から、もう1つは $a_3$ 特異点を1つ持つ四次曲線からであり、両者とも4つの滑らかな点で二次曲線に接している。
• 楕円表面におけるセクション $2s_o$ と $s_1 + s_2$ は、それぞれ二次曲線 $C_1$ と $C_2$ を表し、それらの位相的性質の相違が、非同相なペア $(C_1 \cup Q, C_2 \cup Q)$ を生じる。
• 構成により、これらのペアがザリスキ対であることが確認された。これらの例は島田のリストに含まれているが、本稿はモーデル＝ヴェイユ群を用いた、新しい幾何的・算術的解釈を提供する。
• 解体された二重被覆のモーデル＝ヴェイユ群には2- torsion が存在しないため、分岐除算子 $T_{2n}^{(\nu_n)}$ は既約である。これは構成にとって不可欠な条件である。