[論文レビュー] Splitting methods for a class of non-potential mean field games

Siting Liu, Levon Nurbekyan|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非ポテンシャル平均場ゲーム（MFG）における局所的および非局所的結合を組み合わせた新しいプリミナル・デュアルスプリッティング法を提案する。非局所的結合をフーリエ空間や特徴空間における直交射影で表現することで、次元削減を実現し、モジュラーかつ並列化可能なアルゴリズム設計を可能にするとともに、凸解析を用いた収束保証を達成する。これにより、ポテンシャルMFGに限らないPDHG型ソルバーの応用範囲が拡張される。

ABSTRACT

We extend the methods from Nurbekyan, Saude "Fourier approximation methods for first-order nonlocal mean-field games" [Port. Math. 75 (2018), no. 3-4] and Liu, Jacobs, Li, Nurbekyan, Osher "Computational methods for nonlocal mean field games with applications" [arXiv:2004.12210] to a class of non-potential mean-field game (MFG) systems with mixed couplings. Up to now, splitting methods have been applied to potential MFG systems that can be cast as convex-concave saddle-point problems. Here, we show that a class of non-potential MFG can be cast as primal-dual pairs of monotone inclusions and solved via extensions of convex optimization algorithms such as the primal-dual hybrid gradient (PDHG) algorithm. A critical feature of our approach is in considering dual variables of nonlocal couplings in Fourier or feature spaces.

研究の動機と目的

• 局所的および非局所的相互作用を併せ持つ非ポテンシャル平均場ゲーム系の計算フレームワークを構築すること。これにより、従来のスプリッティング法がポテンシャルMFGに限られていた範囲を拡張する。
• 非局所カーネルを直交基底を用いて低次元特徴空間に射影することで、従来の方法に比して高いメモリ使用量と計算コストを克服する。
• デュアル変数をフーリエ空間に定義したモノトーン包含定式化を用いて、MFG系の効率的解法を実現し、アルゴリズムのモularityと並列性を保証する。
• 凸双対性およびモノトーン作用素理論を用いて収束保証を提供し、PDHG型アルゴリズムの非ポテンシャル設定への適用可能性を拡張する。

提案手法

• 局所的および非局所的結合を含む非ポテンシャルMFG系を、各相互作用項にデュアル変数を導入することでプリミナル・デュアルモノトーン包含問題として定式化する。
• 非局所的結合は、基底関数 $\{\zeta_i\}$ で張られる有限次元部分空間への相互作用カーネル $K$ および $S$ の直交射影により表現され、問題の次元削減が達成される。
• 非局所項のデュアル変数はフーリエ空間または特徴空間に定義され、高速変換を用いた計算が可能になり、細かいグリッド上の行列ベクトル積を回避できる。
• アルゴリズムは、モノトーン包含問題に適用されたプリミナル・デュアルハイブリッド勾配（PDHG）スキームを用い、異なる相互作用タイプごとに更新を分離することで並列化が可能となる。
• 凸双対性およびレジェンドル変換を用いて、等価な包含条件を導出し、モノトーン性仮定のもとで収束を保証する。
• 本手法はモジュラーである。新しい局所的または非局所的相互作用を追加するには、アルゴリズム構造への最小限の変更で十分である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的および非局所的結合を併せ持つ非ポテンシャルMFG系に対して、PDHGのようなスプリッティング法を拡張することは可能か？
• RQ2 非局所的相互作用はどのように効率的に表現できるか。これにより、MFGソルバーにおけるメモリ使用量と計算コストを低減できるか？
• RQ3 フーリエ空間または特徴空間におけるデュアル変数の役割は、非ポテンシャルMFGのスケーラブルかつモジュラーな解法スキームを実現するために果たすか？
• RQ4 モノトーン包含定式化を用いてPDHGを非ポテンシャル設定に拡張する場合、収束保証を維持できるか？
• RQ5 カーネル $K$ および $S$ の直交射影の使用は、得られるMFG解の精度および安定性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案手法により、デュアル変数をフーリエ空間に定義したモノトーン包含問題として定式化することで、PDHG型ソルバーが非ポテンシャルMFG系に成功裏に拡張された。
• 非局所的結合は低次元基底への射影により近似され、アルゴリズムのモularityを損なわず、顕著な次元削減が達成された。
• アルゴリズムは非常にモジュラーかつ並列化可能であり、異なる相互作用項に対応するデュアル変数の更新が分離されているため、並列処理が容易である。
• 関与する作用素の最大モノトーン性から、凸双対性およびレジェンドル変換の性質を用いて収束が保証された。
• 非局所項の計算は高速変換を用いて効率的に行われ、細かいグリッド上の行列ベクトル積を回避した。
• 本手法は一般性に富み、任意の組み合わせの局所的および非局所的相互作用を有する広範な非ポテンシャルMFGクラスに適用可能である。