[論文レビュー] Splitting methods for SDEs with locally Lipschitz drift. An illustration on the FitzHugh-Nagumo model

Evelyn Buckwar, Adeline Samson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 61被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所リプシッツ連続なドリフトと加法的ノイズを有するSDEに対して、明示的な数値分割法を提案し、平均二乗収束の1次を示しながら、ヒポエリプティシティ、幾何的エルゴード性、有界な2次モーメント、および振動的ダイナミクスといった重要な構造的性質を保持することを証明している。FitzHugh-Nagumoモデルのようなモデルにおいて、長時間シミュレーションおよび統計的推論において、標準的なEuler-Maruyamaスキームを上回る性能を発揮している。

ABSTRACT

In this article, we construct and analyse explicit numerical splitting methods for a class of semi-linear stochastic differential equations (SDEs) with additive noise, where the drift is allowed to grow polynomially and satisfies a global one-sided Lipschitz condition. The methods are proved to be mean-square convergent of order 1 and to preserve important structural properties of the SDE. In particular, first, they are hypoelliptic in every iteration step. Second, they are geometrically ergodic and have asymptotically bounded second moments. Third, they preserve oscillatory dynamics, such as amplitudes, frequencies and phases of oscillations, even for large time steps. Our results are illustrated on the stochastic FitzHugh-Nagumo model and compared with known mean-square convergent tamed/truncated variants of the Euler-Maruyama method. The capability of the proposed splitting methods to preserve the aforementioned properties makes them applicable within different statistical inference procedures. In contrast, known Euler-Maruyama type methods commonly fail in preserving such properties, yielding ill-conditioned likelihood-based estimation tools or computationally infeasible simulation-based inference algorithms.

研究の動機と目的

• 多項式成長するドリフトと加法的ノイズを有する半線形SDEの数値解法を開発し、離散化において構造的性質を維持すること。
• 標準的なEuler-Maruyama型手法が、長時間にわたり振動的ダイナミクスを保持できず、統計的推論の有効性を損なう問題を解決すること。
• 各反復ステップにおいて、ヒポエリプティシティ、幾何的エルゴード性、および有界な2次モーメントを保持しながら、平均二乗収束の1次を保証すること。
• 振動的特徴（振幅、周波数、位相）を保持する点で、tamed/truncated Euler-Maruyamaスキームよりも優れた性能を示す分割法の優位性を実証すること。

提案手法

• SDEを線形部と非線形部に分解し、それぞれを別々のステップで正確にまたは高次精度で解く。
• 線形部の正確な積分と非線形ドリフトの数値近似（加法的ノイズ付き）を用いて、明示的分割スキームを構築する。
• 分割プロセスを通じてノイズ構造を保持することで、各時刻ステップでヒポエリプティシティが保証される。
• 収束解析は、一様片側リプシッツ条件とドリフトの多項式成長に依存し、平均二乗収束の1次を保証する。
• 分割戦略の注意深い設計により、幾何的エルゴード性などの長期的統計的性質が維持される。
• 性能の妥当性を検証するため、分割法を確率的FitzHugh-Nagumoモデルに適用し、tamedおよびtruncated Euler-Maruyamaスキームと比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所リプシッツ連続ドリフトと加法的ノイズを有するSDEに対して、明示的分割法が平均二乗収束の1次を達成できるか？
• RQ2 分割法は各反復ステップにおいてヒポエリプティシティ、幾何的エルゴード性、および有界な2次モーメントを保持するか？
• RQ3 Euler-Maruyamaスキームと比較して、分割法は、特に大きな時間ステップを用いた場合に、振動的ダイナミクス（振幅、周波数、位相）をどの程度正確に維持できるか？
• RQ4 長時間シミュレーションを伴う統計的推論タスクにおいて、分割法はtamedおよびtruncated Euler-Maruyamaスキームを上回る性能を示せるか？
• RQ5 分割法が保持するSDEの構造的性質は何か？ それらは、尤度に基づく推定およびシミュレーションベースの推論にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案された分割法は、一様片側リプシッツ条件の下で、多項式成長ドリフトを有するSDEに対して平均二乗収束の1次を達成する。
• 各反復ステップでヒポエリプティシティが保証され、数値スキームがエルゴード性に必要なノイズ構造を維持することが保証される。
• これらの手法は幾何的エルゴード的であり、漸近的に有界な2次モーメントを示す。これは、長時間シミュレーションの安定性にとって極めて重要である。
• 分割法は、大きな時間ステップを用いても、振幅、周波数、位相を含む振動的ダイナミクスを効果的に保持する。
• Euler-Maruyamaスキームとは異なり、分割法は不適切に条件付けられた尤度や計算的に実行不可能な推論アルゴリズムを回避する。
• FitzHugh-Nagumoモデルにおける実証的検証により、長時間スケールで構造的および動的性質を良好に維持していることが確認された。