[論文レビュー] Sporadic and Exceptional

Yang‐Hui He, John McKay|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 57被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、デル・ペッツォ表面および $PSL(2,\mathbb{R})$ の部分群の古典的数え上げ幾何学を通じて、例外的リー代数 $E_6$, $E_7$, $E_8$ と散発的単純群（モンスター、ベビーモンスター、フィッシャー、コンウェイ）の間の新しい数値的・幾何的双対性を確立する。マケイ＝トムプソン級数の尖点数をデル・ペッツォ表面の有理曲線および直線の個数に対応させることで、ムーンシャイン理論、リー理論、代数幾何学の深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

We study the web of correspondences linking the exceptional Lie algebras $E_{8,7,6}$ and the sporadic simple groups Monster, Baby and the largest Fischer group. This is done via the investigation of classical enumerative problems on del Pezzo surfaces in relation to the cusps of certain subgroups of $PSL(2,R)$ for the relevant McKay-Thompson series in Generalized Moonshine. We also study Conway's sporadic group, as well as its association with the Horrocks-Mumford bundle.

研究の動機と目的

• 例外的リー代数 $E_6$, $E_7$, $E_8$ と散発的群（モンスター、ベビーモンスター、フィッシャー、コンウェイ）の間の隠れた構造的双対性を解明すること。
• 散発的群の表現論を、特に直線、二重点接線、三重点接線の個数に注目したデル・ペッツォ表面の古典的数え上げ幾何学と結びつけること。
• マケイ＝トムプソン級数に関連するモジュラー部分群の尖点数が、デル・ペッツォ表面の幾何的不変量とどのように一致するかを調査すること。
• ホロックス＝マナーフォードバンドルがコンウェイ群 $Co_1$ の対称性をどのように実現するか、およびその構成がカラビ＝ヤウ3次元多様体とどのように関係するかを明らかにすること。
• 幾何的・算術的データを通じて、ムーンシャイン、マケイ双対性、および例外的代数的構造を統一的に結びつける枠組みを提供すること。

提案手法

• 正多面体の対称性群とアフィン・ディンキン図 $\widehat{E_6}, \widehat{E_7}, \widehat{E_8}$ のマケイ双対性を用いて、初期の幾何的・代数的関係を確立する。
• デル・ペッツォ表面 $dP_1$, $dP_2$, $dP_3$ の有理曲線（直線、二重点接線、三重点接線）の個数を、$E_6$, $E_7$, $E_8$ の次元および表現と結びつける不変量として分析する。
• モンスター、ベビーモンスター、フィッシャー群に関連するマケイ＝トムプソン級数と関連する合同部分群 $\Gamma_0(N)$ および $\Gamma(N)$ の尖点数を計算し、幾何的個数と比較する。
• 有理的およびブレイヤー指標表を含むキャラクター理論および群表現技法を用い、ホロックス＝マナーフォードバンドルの対称性群 $G_{HM}$ を研究する。
• $\mathbb{P}^4$ 上のコーシュール複体および層系列を用いた代数幾何学的道具を用い、ホロックス＝マナーフォードバンドルの構成とその不変量の分析を行う。
• 計算代数システム（MAGMA）を用いて、有理的キャラクター表を計算し、$G_{HM}$ の表現理論におけるガロア共役のキャンセルを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モンスター、ベビーモンスター、フィッシャー群に関連するマケイ＝トムプソン級数と関連するモジュラー部分群の尖点数は、デル・ペッツォ表面の数え上げ不変量とどのように関係するか？
• RQ2 デル・ペッツォ表面（次数1, 2, 3）における幾何的構造（例：直線、二重点接線）は、モンスター、ベビーモンスター、フィッシャー群の対合類にどのように対応するか？
• RQ3 ホロックス＝マナーフォードバンドルは、どのようにしてコンウェイ群 $Co_1$ を対称性群として実現するのか？ その構成は $E_8$ および $E_6$ とどのように関係するか？
• RQ4 数値的一致 $744 = 3 \times 248$ をモジュラー形式およびデル・ペッツォ表面の幾何学を通じて幾何学的に解釈できるか？
• RQ5 $E_8$ の随伴表現は、モンスター群と $j$-関数のムーンシャイン接続において果たす正確な役割は何か？ そして、$E_7$ および $E_6$ へはどのように拡張されるか？

主な発見

• モンスター群のマケイ＝トムプソン級数に関連する $\Gamma_0(3)$ の尖点数は、次数1のデル・ペッツォ表面（$dP_1$）の直線の個数（240）と一致する。
• ベビーモンスター群の系列（$\Gamma_0(2)$）の尖点数は、$dP_2$ 表面の240個の三重点接線に対応し、$E_7$ の随伴表現の次元と一致する。
• フィッシャー群 $3.Fi_{24}'$（$\Gamma_0(1)$）の尖点数は、$dP_3$ 表面の27本の直線と一致し、$E_6$ の基本表現に対応する。
• MAGMAを用いて計算されたホロックス＝マナーフォード群 $G_{HM}$ の有理的キャラクター表は、17個のガロア軌道に分類される50個の非可約表現を示し、共役表現のキャンセルが確認された。
• $\mathbb{F}_5$ 上のブレイヤーキャラクター表は、5つの非可約表現しか持たないことを確認し、ホロックス＝マナーフォードバンドルの5次元構造と整合的である。
• ホロックス＝マナーフォードバンドルは、$\mathbb{P}^4$ 上の層の複体を用いて構成され、$f^+$ および $f^-$ で定義される写像を介して、その核および余核からランク2のバンドルが得られ、$Co_1$ がその対称性群として実現され、コンウェイ群に埋め込まれる。