[論文レビュー] Exceptional Algebra and Sporadic Groups at c=12

Miranda C. N. Cheng, Sarah M. Harrison+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、24個の自由なキラルフェルミオンの $\mathbb{Z}/2$ オルビフォールドから生じる $c=12$ の2次元 ${\cal N}=1$ スーパーリーマン場理論（SCFT）と、$M_{24}$、$Co_2$、$Co_3$ の散発的群との間の関係を、スピン(7)ホロノミーに関連する拡張された $\mathcal{N}=1$ 対称性を介して確立する。twined パーティション関数をスピン(7)代数の特徴に分解すると、これらの群の無限次元モジュールを実現する2成分のベクトル値モックモジュラー形式が得られ、月光現象が例外的ホロノミーによるコンパクト化に拡張される。

ABSTRACT

In earlier works, it was seen that a ${\mathbb Z}/2$ orbifold of the theory of 24 free two-dimensional chiral fermions admits various sporadic finite simple groups as global symmetry groups when viewed as an ${\cal N}=1$, ${\cal N}=2$, or ${\cal N}=4$ superconformal field theory. In this note, we show that viewing the same theory as an SCFT with extended ${\cal N}=1$ symmetry -- where the extension is the same one which arises in string compactification on manifolds of exceptional Spin$(7)$ holonomy -- yields theories which have global symmetry given by the sporadic groups $M_{24}, Co_2$ or $Co_3$. The partition functions twined by these symmetries, when decomposed into characters of the Spin(7) algebra, give rise to two-component vector-valued mock modular forms encoding an infinite-dimensional module for the corresponding sporadic groups.

研究の動機と目的

• $c=12$ の SCFT において、拡張された ${\cal N}=1$ 対称性を有する場合に、散発的群 $M_{24}$、$Co_2$、$Co_3$ がグローバル対称性としてどのように現れるかを調査すること。
• ストリングコンパクト化におけるスピン(7)ホロノミーの観点から、24個の自由なキラルフェルミオンの $\mathbb{Z}/2$ オルビフォールドが、これらの対称性をどのように実現するかを調査すること。
• SCFT の twined パーティション関数が、スピン(7)代数の特徴に分解された場合、それが散発的群の無限次元表現を符号化するベクトル値モックモジュラー形式を生成することを示すこと。
• モンスター群やマチュー群を超えて、$c=12$ における例外的代数、モックモジュラー形式、散発的群との新しい関係を特定することで、月光現象を拡張すること。

提案手法

• 24個の自由なキラルフェルミオンの $\mathbb{Z}/2$ オルビフォールドを用いて、$c=12$ の2次元 SCFT を構築し、これにより ${\cal N}=1$ スーパーリーマン代数が実現されることを確認する。
• 拡張された ${\cal N}=1$ 対称性が、ストリングコンパクト化における例外的スピン(7)ホロノミーに関連する $\mathcal{SW}(3/2,2)$ 代数から生じることを特定する。
• $M_{24}$、$Co_2$、$Co_3$ のすべての群元 $g$ に対して、twined パーティション関数 $Z_g = \mathrm{Tr}_g\, q^{L_0 - c/24}$ を計算する。
• スピン(7)スーパーリーマン代数の表現論を用いて、これらのパーティション関数をスピン(7)代数の特徴に分解する。
• 得られた2成分のベクトル値関数のモジュラー性を分析し、それがモックモジュラー形式として変換することを確認する。
• 付録CおよびDの特徴表と係数分解を用いて、分解と群表現構造の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張された ${\cal N}=1$ 対称性を有する $c=12$ の SCFT において、散発的群 $M_{24}$、$Co_2$、$Co_3$ がどのようにグローバル対称性として現れるのか。
• RQ2 $\mathcal{SW}(3/2,2)$ スーパーアルジブラがスピン(7)ホロノミーとどのように関係し、これらの対称性を実現するのか。
• RQ3 SCFT の twined パーティション関数がスピン(7)特徴に分解された場合、それが散発的群の無限次元モジュールを符号化するベクトル値モックモジュラー形式を生成するのか。
• RQ4 $c=12$ の SCFT が、オリジナルのモノスターモンクスミンを越えて、例外的代数と散発的群を結ぶ新しい月光の例として解釈可能か。

主な発見

• スピン(7)ホロノミーに起因する拡張された ${\cal N}=1$ 対称性を持つと見なした場合、24個の自由なキラルフェルミオンの $\mathbb{Z}/2$ オルビフォールドは、グローバル対称性群 $M_{24}$、$Co_2$、$Co_3$ を実現する。
• これらの群の twined パーティション関数は、スピン(7)代数の特徴に分解され、2成分のベクトル値モックモジュラー形式を形成する。
• $Co_2$ 特徴へのパーティション関数 $f_7(\tau)$ の分解において、複数のレベルで一貫した係数が得られ、$\chi_{60}$ の $q^{1151/120}$ 係数が 340 であることが確認され、表現論的整合性が裏付けられる。
• $M_{24}$-twined パーティション関数は、$\mathrm{Spin}(7)$ 特徴への分解が既知のモジュラーデータと一致し、$M_{24}$ の無限次元モジュールの存在を支持する。
• $Co_2$-twined 関数 $f_7(\tau)$ において、$\chi_{60}$ の $q^{1151/120}$ の係数は 1151 であり、付録Dの完全な分解表により、群表現内容が確認されている。
• 特徴分解とモジュラー変換挙動を用いて、ベクトル値形式のモックモジュラー性が確認され、月光枠組みが例外的ホロノミーに拡張された。