[論文レビュー] SPRSF: Sparse Phase Retrieval via Smoothing Function

Samuel Pinilla, Jorge Bacca+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2018

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SPARTA や他の既存手法の非滑らかさを克服するためのスムージング関数を用いる、新しいスパース位相復元アルゴリズム SPRSF を提案する。これにより、切り捨て閾値の必要性が排除され、勾配降下方向における反復的ハードスレッショーディングを用いて線形収束を達成し、サンプリング複雑度 O(k² log n) を実現する。この手法は、特にスパースニス k が未知の場合に、回復率と耐障害性において最先端の手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Phase retrieval (PR) is an ill-conditioned inverse problem which can be found in various science and engineering applications. Assuming sparse priority over the signal of interest, recent algorithms have been developed to solve the phase retrieval problem. Some examples include SparseAltMinPhase (SAMP), Sparse Wirtinger flow (SWF) and Sparse Truncated Amplitude flow (SPARTA). However, the optimization cost functions of the mentioned algorithms are non-convex and non-smooth. In order to fix the non-smoothness of the cost function, the SPARTA method uses truncation thresholds to calculate a truncated step update direction. In practice, the truncation procedure requires calculating more parameters to obtain a desired performance in the phase recovery. Therefore, this paper proposes an algorithm called SPRSF (Sparse Phase retrieval via Smoothing Function) to solve the sparse PR problem by introducing a smoothing function. SPRSF is an iterative algorithm where the update step is obtained by a hard thresholding over a gradient descent direction. Theoretical analyses show that the smoothing function uniformly approximates the non-convex and non-smooth sparse PR optimization problem. Moreover, SPRSF does not require the truncation procedure used in SPARTA. Numerical tests demonstrate that SPRSF performs better than state-of-the-art methods, especially when there is no knowledge about the sparsity $k$. In particular, SPRSF attains a higher mean recovery rate in comparison with SPARTA, SAMP and SWF methods, when the sparsity varies for the real and complex cases. Further, in terms of the sampling complexity, the SPRSF method outperforms its competitive alternatives.

研究の動機と目的

• SPARTA や SAMP、SWF などの既存スパース位相復元手法の非滑らかさと高いサンプリング複雑度に対処すること。
• スパース位相復元問題を一様に近似する滑らかで凸でない最適化フレームワークを構築すること。
• 勾配更新における切り捨て閾値の必要性を排除し、これによりチューニングの必要性が低下し、性能が劣化するのを防ぐこと。
• k スパース信号に対して最小限のサンプリング複雑度で線形収束を達成すること。
• 真のスパースニス k が未知である場合でも、回復性能を向上させること。

提案手法

• スパース位相復元における非滑らかで凸でない目的関数を近似するためにスムージング関数を導入する。
• スパース性を維持するために、反復的ハードスレッショーディングを用いて勾配降下方向を更新する。
• 目的関数内の絶対値および位相項の滑らか近似を採用し、微分可能性を保証する。
• スペクトルノルムと集中不等式を用いて勾配ノルムの理論的境界を導出する。
• 測定行列が高確率で制限等長性を満たす条件の下で収束を確立する。
• 任意の k スパース信号に対して、サンプリング複雑度 O(k² log n) で線形収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スムージング関数は、非滑らかで凸でないスパース位相復元目的関数を効果的に近似できるか？
• RQ2 勾配更新における切り捨て閾値の排除は、回復性能の向上とサンプリング複雑度の低減をもたらすか？
• RQ3 SPRSF はスパースニスレベル k の事前知識なしに線形収束を達成できるか？
• RQ4 スパースニスの変動に応じて、SPRSF は SPARTA や SAMP、SWF と比較して回復率と耐障害性に優れているか？
• RQ5 正確な信号回復に必要な SPRSF の理論的サンプリング複雑度は何か？

主な発見

• SPRSF は任意の k スパース信号に対して、サンプリング複雑度 O(k² log n) で線形収束を達成し、理論的境界と一致する。
• SPRSF は、特にスパースニス k が未知の場合に、SPARTA や SAMP、SWF よりも平均回復率で優れている。
• アルゴリズムは切り捨て閾値の必要性を排除し、パrameterチューニングを低減させ、安定性を向上させる。
• 数値結果から、実数および複素数信号の両方において、スパースニスの変動にかかわらず SPRSF は高い回復性能を維持することが示された。
• 理論的分析により、スムージング関数が元の非滑らか目的関数を一様に近似することが確認された。
• SPRSF はスパースニスの不確実性に対して頑健であるため、事前に k が分からない実用的応用に適している。