[論文レビュー] Square Function Estimates and Functional Calculi

Bernhard H. Haak, Markus Haase|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、γ-ラドニコフ作用素を用いた平方関数推定の抽象的枠組みを導入し、バナッハ空間における古典的リトルウッド＝パレス理論の一般化を行う。有限cotypeを持つ空間上でのストリップ型作用素のスカラーH∞-計算の有界性が、より大きなストリップ上でのベクトル値H∞-計算の有界性を示すことを確立し、ℓ₁フレーム有界性や積分表現といった新規の道具を用いる。

ABSTRACT

In this paper the notion of an abstract square function (estimate) is introduced as an operator X to gamma (H; Y), where X, Y are Banach spaces, H is a Hilbert space, and gamma(H; Y) is the space of gamma-radonifying operators. By the seminal work of Kalton and Weis, this definition is a coherent generalisation of the classical notion of square function appearing in the theory of singular integrals. Given an abstract functional calculus (E, F, Phi) on a Banach space X, where F (O) is an algebra of scalar-valued functions on a set O, we define a square function Phi_gamma(f) for certain H-valued functions f on O. The assignment f to Phi_gamma(f) then becomes a vectorial functional calculus, and a "square function estimate" for f simply means the boundedness of Phi_gamma(f). In this view, all results linking square function estimates with the boundedness of a certain (usually the H-infinity) functional calculus simply assert that certain square function estimates imply other square function estimates. In the present paper several results of this type are proved in an abstract setting, based on the principles of subordination, integral representation, and a new boundedness concept for subsets of Hilbert spaces, the so-called ell-1 -frame-boundedness. These abstract results are then applied to the H-infinity calculus for sectorial and strip type operators. For example, it is proved that any strip type operator with bounded scalar H-infinity calculus on a strip over a Banach space with finite cotype has a bounded vectorial H-infinity calculus on every larger strip.

研究の動機と目的

• Lp空間を超える任意のバナッハ空間への古典的平方関数推定の一般化を、γ-ラドニコフ作用素を用いて行う。
• 抽象的設定における平方関数推定と関数計算の有界性を結ぶ結果を統合的かつ拡張的に扱う。
• ℓ₁フレーム有界性と積分表現を用いて、ベクトル値H∞-計算の有界性に関する新規基準を確立する。
• 抽象的枠組みをセクタ型およびストリップ型作用素に適用し、特にH∞-計算の有界性がより大きなストリップへと伝播することを証明する。

提案手法

• 関数計算 (E, F, Φ) に関連するγ-ラドニコフ作用素Φγ(f)を用いて、f ↦ Φγ(f) によるベクトル値関数計算を定義する。
• ヒルベルト空間の部分集合に対してℓ₁フレーム有界性を定義し、作用素族の新たな有界性基準を導入する。
• 補助的関係と積分表現（例：コーシー＝ガウス、ラプラス）を用いて、異なる平方関数推定を関連付ける。
• トレース双対性とγ空間の性質を用いて、得られるベクトル値関数計算の有界性を特徴付ける。
• γ-ラドニコフ作用素の理想性およびガウス和への関連を活用して推定を導出する。
• 基礎となるバナッハ空間の有限cotypeを活用して、ベクトル値計算における作用素ノルムの成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリップ型作用素のスカラーH∞-計算の有界性が、より大きなストリップ上でのベクトル値H∞-計算の有界性を示すための条件は何か？
• RQ2 補助的関係と積分表現を通じて、抽象的平方関数推定を体系的にどのように関連付けることができるか？
• RQ3 ℓ₁フレーム有界性は、ベクトル値関数計算の有界性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 どのバナッハ空間において、スカラーH∞-計算の有界性がベクトル値H∞-計算の有界性を示すか？
• RQ5 この枠組みは、調和解析および関数計算における既知の平方関数推定を統合的かつ一般化できるか？

主な発見

• 有限cotypeを持つバナッハ空間上に定義された、ストリップ型作用素でスカラーH∞-計算が有界であるものは、任意のより大きなストリップ上でのベクトル値H∞-計算も有界である。
• ヒルベルト空間上でのℓ₁フレーム有界作用素のクラスは、ヒルベルト＝シュミット作用素のクラスと一致し、明確な特徴付けが得られる。
• W₁²(ℝ) ↪ L₂(ℝ) の埋込みはℓ₁フレーム有界であり、一般にW₁^α(ℝ) ↪ L₂(ℝ) はα > 1のときℓ₁フレーム有界である。
• A(ℝ) ↪ L₂(ℝ) の標準的埋込みは、ℓ₁フレーム有界であるとは知られていないが、ガボールフレーム解析を用いてW₁²(ℝ) ↪ L₂(ℝ) がℓ₁フレーム有界であることが証明されている。
• コーシー＝ガウスおよびラプラス変換などの積分表現を通じて、平方関数推定の転送が本枠組みで可能である。
• ヒルベルト空間値関数に対しては、ℓ₁フレーム有界性が関連するγ-ラドニコフ作用素の有界性を保証し、一貫性のあるベクトル値関数計算の構成を可能にする。