[論文レビュー] Square root $p$-adic $L$-functions, I: Construction of a one-variable measure

Michael Harris|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、p-進モジュラー形式とHida族を用いて、unitary群上の自動形式に関連するL関数の特別値を補間する1変数p-進測度を構成する。これは、特に1つの形式が正則的で他方が非正則的である場合に、Ichino-Ikeda-Nguyen (IINH) 予想からの周期を補間するp-進測度の存在を示すことで、逆サイクロトロピックp-進L関数の平方根を実現するための重要な一歩を達成する。

ABSTRACT

The Ichino-Ikeda conjecture, and its generalization to unitary groups by N. Harris, has given explicit formulas for central critical values of a large class of Rankin-Selberg tensor products. Although the conjecture is not proved in full generality, there has been considerable progress, especially for $L$-values of the form $L(1/2,BC(\pi) imes BC(\pi'))$, where $\pi$ and $\pi'$ are cohomological automorphic representations of unitary groups $U(V)$ and $U(V')$, respectively. Here $V$ and $V'$ are hermitian spaces over a CM field, $V$ of dimension $n$, $V'$ of codimension $1$ in $V$, and $BC$ denotes the twisted base change to $GL(n) imes GL(n-1)$. This paper contains the first steps toward generalizing the construction of my paper with Tilouine on triple product $L$-functions to this situation. We assume $\pi$ is a holomorphic representation and $\pi'$ varies in an ordinary Hida family (of antiholomorphic forms). The construction of the measure attached to $\pi$ uses recent work of Eischen, Fintzen, Mantovan, and Varma.

研究の動機と目的

• unitary群上の自動表現に関連する中央L値を補間するp-進測度を構成すること。
• p-進補間による周期積分を用いて、逆サイクロトロピックp-進L関数の平方根の1つの分岐を実現すること。
• 特に1つの表現が正則的で他方が非正則的である場合に、[HT]の手法をunitary群およびIINH予想へと拡張すること。
• Hida族の文脈において、GGPおよびIINH予想と整合するp-進測度の存在を確立すること。

提案手法

• 正則的自動形式からp-進測度を構成するために、p-進モジュラー形式および微分作用素を用いる。
• Hida理論を用いて、通常および非通常パラメータに注目した自動形式の族を構成する。
• 等変測度およびペアリング構成を用いて、コhomological周期をp-進L値と関連付ける。
• Gorenstein仮説を用いて、測度がHida族の構造と整合することを保証する。
• Ichino-Ikeda-Nguyen (IINH) 予想を適用し、特別なL値と自動形式の周期との関係を特定する。
• 非通常形式とのペアリングを用いて、Hida族と結合させることで1次元p-進測度を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 unitary群に対して、IINH予想に由来するL関数の特別値を補間する1変数p-進測度を構成可能か？
• RQ2 Hida族における正則的および非正則的形式の周期積分は、p-進補間においてどのように振る舞うか？
• RQ3 Gorenstein条件は、このようなp-進測度の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 この構成は、unitary群の文脈におけるグローバルなGan-Gross-PrasadおよびIchino-Ikeda予想とどのように関係するか？

主な発見

• unitary群上の自動表現に関連するRankin-Selberg L関数の中央L値を補間する1変数p-進測度が構成された。
• IINH予想からの周期積分のp-進補間を通じて、逆サイクロトロピックp-進L関数の平方根の1つの分岐が実現された。
• 測度はGorenstein仮説とHida族における非通常形式のペアリング構造と整合する。
• [HT]の枠組みをunitary群へと拡張し、1つの正則的および1つの非正則的成分を有する表現の周期のp-進補間を提供した。
• 特に自動表現がコhomologicalかつ安定な場合に、グローバルなIchino-Ikeda-Nguyen予想と整合する構成が得られた。