[論文レビュー] SRB measure for higher dimensional singular partially hyperbolic flows

Renaud Leplaideur, Dinghui Yang|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、熱力学的形式主義を用いて、次元 $d \geq 3$ の高次元特異部分双曲的吸引子に対して、SRB測度の存在および一意性を確立している。Poincaré断面法に依存せず、強安定foliationの絶対連続性と均衡状態理論に依拠することで、従来の方法が高次元で技術的障害に直面する3次元以上の場合にまで、SRB測度の結果を拡張している。

ABSTRACT

We prove the existence and uniqueness of the SRB measure for singular partially hyperbolic flow in dimension $d\ge 3$. The proof does not use Poincaré sectional maps, but uses basic properties of thermodynamic formalism.

研究の動機と目的

• 次元 $d \geq 3$ の特異部分双曲的吸引子に対して、SRB測度の存在および一意性を確立し、3次元に限局された先行研究を拡張すること。
• Poincaré断面法の限界を克服すること。高次元では断面の構成が困難であり、高次元の区分的拡張写像における絶対連続不変測度の崩壊が原因で、従来の手法が失敗するため。
• 強安定foliationの絶対連続性と均衡状態理論を活用する熱力学的形式主義に基づく、新たな枠組みを構築すること。
• 特異点を含み、非一様双曲性を示す高次元特異双曲的流れに一般化可能な手法を提供すること。
• 3次元を超える文脈において、特異双曲的力学におけるSRB測度に関する先行結果を統合的かつ一般化すること。

提案手法

• 流れの時間1写像に対する均衡状態を熱力学的形式主義を用いて構成し、与えられた双曲的条件のもとで、これがSRB測度と一致することを示す。
• 強安定foliationの絶対連続性に依拠し、不安定多様体上の条件付き測度がLebesgue測度に関して絶対連続であることを保証する。
• 局所的積構造と、周囲多様体と部分多様体（安定および $cu$-プレーク）間の均一な計量制御を用いる。これは定数 $\kappa$ と $\varepsilon$ を用いて表現される。
• Ledrappier-Youngのエントロピー公式を適用し、測度のエントロピーを正のリャプノフ指数の和にリンクさせることで、SRB測度を特徴付ける。
• 支配的性質、収縮性、断面的拡張性を有する連続不変分解 $T_\Lambda M = E^{ss} \oplus F^{cu}$ の存在を用いて、双曲的類似の振る舞いを保証する。
• 局所的強安定多様体 $W^{ss}_{\varepsilon}(x)$ および $cu$-プレーク $W^{cu}_{\varepsilon}(x)$ を、それぞれの部分束上への $C^1$ グラフとして構成し、零写像への均一な $C^1$-近さを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $d \geq 3$ の特異部分双曲的吸引子に対して、一意なSRB測度が存在するか？
• RQ2 Poincaré断面写像や戻りの力学に依存せずに、SRB測度の存在および一意性を確立できるか？
• RQ3 熱力学的形式主義は、特異点を有する非一様双曲的流れにどの程度適用可能か？
• RQ4 高次元設定におけるSRB測度の構成において、強安定foliationの絶対連続性はどのように寄与するか？
• RQ5 周囲多様体と部分多様体間の均一な計量制御が、このような流れのエルゴディック理論に与える影響は何か？

主な発見

• 任意の次元 $d \geq 3$ の特異双曲的吸引子に対して、SRB測度は存在し、かつ一意である。これはAraújoら（2011年）の3次元結果を拡張する。
• 証明はPoincaré断面写像を一切使用せず、高次元の戻り写像における技術的障害を回避する。
• 強安定foliationの絶対連続性は、熱力学的形式主義によるSRB測度の構成において、本質的かつ十分な条件である。
• 特異点を含む流れに対しても、時間1写像が均衡状態の条件を満たせば、本手法は適用可能である。
• Ledrappier-Youngのエントロピー公式が成立する：測度のエントロピーは、正のリャプノフ指数の和の積分に等しい。これによりSRB性が確認される。
• 均一な計量制御（D1）〜（D3）により、局所的積構造が周囲計量を近似でき、$\kappa$-有界歪みを用いた測度論的制御が可能になる。