[論文レビュー] Stability of group relations under small Hilbert-Schmidt perturbations

Don Hadwin, Tatiana Shulman|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トレース的超積とキャラクターの近似性質を用いて、非自明な中心をもつすべての1関係関係群について、正規化されたヒルバート＝シュミットノルムのもとでの$II_1$-因子安定性を確立する。さらに、可解群の行列安定性を、有限次元トレースの逐次極限としての特徴づけを行い、離散ヘイゼンベルク群$\mathbb{H}_3$およびバニラアーベル群の安定性を証明する。非可解群においては、キャラクターの剛性が行列安定性に必要な近似性質をもたらすことを示す。

ABSTRACT

If matrices almost satisfying a group relation are close to matrices exactly satisfying the relation, then we say that a group is matricially stable. Here "almost" and "close" are in terms of the Hilbert-Schmidt norm. Using tracial 2-norm on $II_1$-factors we similarly define $II_1$-factor stability for groups. Our main result is that all 1-relator groups with non-trivial center are $II_{1}$-factor stable. Many of them are also matricially stable and RFD. For amenable groups we give a complete characterization of matricial stability in terms of the following approximation property for characters: each character must be a pointwise limit of traces of finite-dimensional representations. This allows us to prove matricial stability for the discrete Heisenberg group $\mathbb H_3$ and for all virtually abelian groups. For non-amenable groups the same approximation property is a necessary condition for being matricially stable. We study this approximation property and show that RF groups with character rigidity have it.

研究の動機と目的

• トレース的ノルムを用いた$II_1$-因子および有限次元表現における群の安定性を、小さなヒルバート＝シュミットノルムの摂動のもとで定義・分析すること。
• 可解群の行列安定性を、有限次元表現のトレースによるキャラクターの近似という観点から特徴づけること。
• 特に非自明な中心をもつ1関係関係群を含む広範な非可解群のクラスについて、$II_1$-因子安定性を確立すること。
• キャラクターの剛性と行列安定性に必要な近似性質との関係を調査すること。
• 特定の形をした群の$C^*$-代数の残余有限次元性（RFD）を証明し、表現論と安定性を結びつけること。

提案手法

• トレース的超積を用いて、有限生成群にとどまらない範囲にまで行列安定性および$II_1$-因子安定性を一般化する。
• 正規化されたヒルバート＝シュミットノルムを用いて、群関係の近似解と正確解との近さを測定する。
• 各キャラクターが有限次元表現のトレースの逐次極限として表せることを、行列安定性の主要な基準とする近似性質を採用する。
• 有限ランク切断における射影のSOT極限に関する補題8を活用し、特定の群提示における$C^*$-代数のRFDを証明する。
• ユニタリスケーリングによって誘導される同型を用いて、安定性の問題を射影関係の普遍$C^*$-代数に還元する。
• ユニタリ共役と分解技術を用いて、群関係を満たす摂動されたユニタリ対を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な中心をもつ1関係関係群のうち、正規化されたヒルバート＝シュミットノルムのもとで$II_1$-因子安定性を満たすのはどれか？
• RQ2 可解群において、行列安定性が有限次元表現のトレースによるキャラクターの近似と同値となる条件は何か？
• RQ3 同じノルムのもとで非可解群の行列安定性の必要十分条件は何か？
• RQ4 キャラクターの剛性をもつ残余有限群は、行列安定性に必要なトレース近似性質を満たすか？
• RQ5 $\langle x,y,z \mid x^2 = y^3, y^5 = z^7 \rangle$の形をした群の$C^*$-代数は、残余有限次元的か？

主な発見

• すべての非自明な中心をもつ1関係関係群は、定理10により$II_1$-因子安定である。
• 離散ヘイゼンベルク群$\mathbb{H}_3$は、定理6により行列安定である。
• すべてのバニラアーベル群は、定理5により行列安定である。
• 可解群においては、行列安定性は、すべてのキャラクターが有限次元表現のトレースの逐次極限として表せることと同値である。これは定理4に述べられている。
• 残余有限でキャラクターの剛性をもつ群は、トレース近似性質を満たす。これはコロナリー1で示された。
• $\langle x,y,z \mid x^2 = y^3, y^5 = z^7 \rangle$の形をした群の$C^*$-代数は、定理11により残余有限次元的である。