[論文レビュー] Stability of marginally outer trapped surfaces and existence of marginally outer trapped tubes

Lars Andersson, Marc Mars+1 more|ArXiv.org|Apr 22, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非自己随伴な楕円型安定性作用素を用いて、時空内の境界外方捕獲表面（MOTS）の安定性条件を確立し、時空の foliation に適した一意的で開集合である境界外方捕獲管（MOTT）を生成する厳密に安定な MOTS が存在することを証明する。標準的エネルギー条件のもとで、MOTT が局所的に時空的、スカラ型、または光的であることが示され、数値相対論および宇宙監視研究におけるブラックホール力学のきめ細やかな局所的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The present work extends our short communication Phys. Rev. Lett. 95, 111102 (2005). For smooth marginally outer trapped surfaces (MOTS) in a smooth spacetime we define stability with respect to variations along arbitrary vectors v normal to the MOTS. After giving some introductory material about linear non self-adjoint elliptic operators, we introduce the stability operator L_v and we characterize stable MOTS in terms of sign conditions on the principal eigenvalue of L_v. The main result shows that given a strictly stable MOTS S contained in one leaf of a given reference foliation in a spacetime, there is an open marginally outer trapped tube (MOTT), adapted to the reference foliation, which contains S. We give conditions under which the MOTT can be completed. Finally, we show that under standard energy conditions on the spacetime, the MOTT must be either locally achronal, spacelike or null.

研究の動機と目的

• 一般時空における境界外方捕獲表面（MOTS）の安定性を、非自己随伴な楕円型作用素を用いて定義し、解析する。
• スカラ型超曲面内の厳密に安定な MOTS が周囲の時空で境界外方捕獲管（MOTT）を生成する条件を確立する。
• 標準的エネルギー条件の下で、得られた MOTT の因果的性質（非時空的、スカラ型、または光的）を特徴づける。
• 数値相対論および宇宙監視研究に不可欠な、グローバルブラックホール定義の局所的代替枠組みを提供する。
• Hawking および Newman の MOTS 変動とトポロジーに関する研究を、捕獲表面の完全な時空的進化にまで拡張する。

提案手法

• 法ベクトル $ v $ 沿いの変動を用いて定義される、線形で非自己随伴な楕円型安定性作用素 $ L_v $ を導入する。
• 作用素 $ L_v $ の主固有値 $ \lambda_1 $ の符号により安定性を特徴づけ、$ \lambda_1 > 0 $ が厳密安定性を示す。
• Krein-Rutman 定理を適用して、$ L_v $ に対して一意の正の主固有関数と実数の主固有値が存在することを証明する。
• 最大原理と楕円型正則性を用いて、主固有関数が滑らかで厳密に正であることを示す。
• 法方向変動における発散量 $ \theta $ の進化方程式を導出し、これにより安定性作用素 $ L_v $ を得る。
• 厳密安定性と基準 foliation $ \Sigma_t $ の仮定の下、局所的陰関数定理の議論により MOTT の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラ型超曲面 $ \Sigma_0 $ 内の厳密に安定な MOTS が、時空内で境界外方捕獲管（MOTT）を生成する条件は何か？
• RQ2 非自己随伴な楕円型作用素のスペクトル的性質を用いて、MOTS の安定性をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 標準的エネルギー条件のもとで、得られた MOTT の因果的性質（非時空的、スカラ型、または光的）は何か？
• RQ4 適切な幾何的および物理的仮定の下で、MOTT をグローバルに完成させることは可能か？
• RQ5 安定性作用素 $ L_v $ は、弱く捕獲された表面のトポロジーおよび幾何的障壁とどのように関係するか？

主な発見

• スカラ型超曲面 $ \Sigma_0 $ 内の厳密に安定な MOTS $ \mathcal{S}_0 $ は、基準 foliation $ \Sigma_t $ に適合する一意的で開集合の MOTT を時空内で生成する。
• MOTS の安定性は、安定性作用素 $ L_v $ の主固有値 $ \lambda_1 $ の正の符号によって特徴づけられる。
• 標準的エネルギー条件 $ G_{\alpha\beta} l^\alpha k^\beta \geq 0 $ の下で、MOTT は局所的に非時空的、スカラ型、または光的である。
• MOTT の存在は、$ L_v $ のスペクトル的性質に依存する局所的陰関数定理の議論により証明される。
• 作用素 $ L_v $ の主固有関数は滑らかで厳密に正であり、安定性条件が強固で幾何的に意味を持つことを保証する。
• 随伴作用素 $ L_v^\dagger $ は $ L_v $ と同じ主固有値を持つため、主モードに関してスペクトルの対称性が確認される。