[論文レビュー] Stability of Tails and 4-Canonical Models

Donghoon Hyeon, Ian Morrison|ArXiv.org|Jun 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$g \geq 3$ の曲線の4-正則ヒルベルトおよびチャウ局所のGIT商が、擬安定曲線のモジュライ空間 $\overline{M}_g^{\text{ps}}$ を与えることを確立する。楕円的尾部またはカスプ尾部をもつ曲線の $m$-番目のヒルベルト点に作用する1パラメータ部分群の正確な重みを計算することで、このような曲線が $m$-ヒルベルト不安定かつチャウ厳密に半安定であることを証明し、商が楕円的尾部を含まず、ノードと通常のカスプのみをもつ擬安定曲線をパラメトライズすることを確認する。

ABSTRACT

We show that the GIT quotients of suitable loci in the Hilbert and Chow schemes of 4-canonically embedded curves of genus $g\ge 3$ are the moduli space $\bar{M}_g^{ ext{ps}}$ of pseudo-stable curves constructed by Schubert in \cite{Schubert} using Chow varieties and 3-canonical models. The only new ingredient needed in the Hilbert scheme variant is a more careful analysis of the stability with respect to a certain 1-ps $λ$ of the $m^{ ext{th}}$ Hilbert points of curves $X$ with elliptic tails. We compute the exact weight with which $λ$ acts, and not just the leading term in $m$ of this weight. A similar analysis of stability of curves with rational cuspidal tails allows us to determine the stable and semistable 4-canonical Chow loci. Although here the geometry of the quotient is more complicated because there are strictly semi-stable orbits, we are able to again identify it as $\bar{M}_g^{ ext{ps}}$. Our computations yield, as byproducts, examples of both $m$-Hilbert unstable and $m$-Hilbert stable $X$ that are Chow strictly semi-stable.

研究の動機と目的

• 4-正則曲線のモジュライ空間のGIT構成を完成させるために、$\nu=4$ の場合を解消すること。
• 4-正則ヒルベルトおよびチャウ商が、楕円的尾部を含まない擬安定曲線をパラメトライズすることを示すこと。
• 楕円的尾部またはカスプ尾部をもつ曲線の $m$-番目のヒルベルト点に作用する1パラメータ部分群の正確な重みを計算すること。
• 特に厳密に半安定な局所において、4-正則設定におけるヒルベルトとチャウ安定性の関係を明確にすること。
• ヒルベルトおよびチャウスキームの両方において、$\overline{M}_g^{\text{ps}}$ が4-正則埋め込みのGIT商として得られることを確認すること。

提案手法

• 明示的な単項式基底と特異点における零点の順序を用いて、楕円的尾部をもつ曲線の $m$-番目のヒルベルト点に対する $\rho^{-1}$-重みを正確に計算する。
• 1-パラメータ部分群 $\rho$ が楕円的尾部をもつ曲線の4-正則モデルの $m$-番目のヒルベルト点に作用するのを分析し、カスプ曲線に対して正確な重み $\mu([Z]_m, \rho^{-1}) = m-1$ を計算する。
• 正確な重み計算を用いて、楕円的尾部をもつ曲線の4-正則モデルの $m$-番目のヒルベルト点が $\rho$-不安定であることを示し、シューベルトの3-正則結果を拡張する。
• 同様の手法を有理型カスプ尾部をもつ曲線に適用し、$m \geq 2$ のとき $m$-ヒルベルト安定かつチャウ厳密に半安定であり、$\mu([Z]_m, \rho^{-1}) = m-1$ であることを示す。
• 単射性、有理型性、正規性の議論を用いて、4-正則ヒルベルトおよびチャウ商が同型であり、$\overline{M}_g^{\text{ps}}$ に同型であることを確立する。
• コラールの平坦な普遍族および基本サイクル写像の逆の正規性に関する結果を用いて、ヒルベルト商とチャウ商が同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4-正則ヒルベルト商は、$g \geq 3$ の曲線に対して、擬安定曲線のモジュライ空間 $\overline{M}_g^{\text{ps}}$ を与えるか？
• RQ2 $m$-番目のヒルベルト点が、楕円的尾部をもつ4-正則モデルの曲線に対して、特定の1-パラメータ部分群 $\rho$ の作用において不安定か？
• RQ3 通常のカスプをもつ4-正則曲線の $m$-番目のヒルベルト点に作用する $1$-パラメータ部分群 $\rho^{-1}$ の正確な重みは何か？
• RQ4 4-正則ヒルベルトおよびチャウスキームにおける半安定局所は、弱く擬安定曲線および擬安定曲線のモジュライとどのように関係するか？
• RQ5 自然な写像 $\varpi: \text{Hilb}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7} \to \text{Chow}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7}$ は同型か？

主な発見

• $m$-番目のヒルベルト点が楕円的尾部をもつ4-正則モデルの曲線は、補題1および系2における正確な重み計算により $\rho$-不安定であることが示された。
• 通常のカスプをもつ4-正則曲線に対して、$m$-番目のヒルベルト点は $m$-ヒルベルト安定であり、チャウ点はチャウ厳密に半安定である。また $\mu([Z]_m, \rho^{-1}) = m - 1$ である。
• $4$-正則ヒルベルト商 $\text{Hilb}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7}$ は $\overline{M}_g^{\text{ps}}$ に同型であり、安定局所は擬安定曲線をパラメトライズし、厳密に半安定な点は存在しない。
• $4$-正則チャウ商 $\text{Chow}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7}$ は $\overline{M}_g^{\text{ps}}$ に同型であり、半安定局所は弱く擬安定曲線をパラメトライズし、同じデリーニ＝マウムフォードの安定化をもつ曲線、かつカスプまたは楕円的尾部をもつ曲線が正確に同一視される。
• $\varpi: \text{Hilb}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7} \to \text{Chow}_{g,4}/\!\!/SL_{7g-7}$ は、両空間の単射性、有理型性、正規性を用いて同型であることが確立された。