[論文レビュー] Stabilization of Higher Order Cut Finite Element Methods on Surfaces

Mats G. Larson, Sara Zahedi|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$[\mathbb{R}^d]$ 内の曲面上で楕円型PDEを解くためのカット有限要素法に新たな安定化項を導入する。この手法は、スケーリングされた法線微分と要素面を越えたジャンプ制御を組み合わせることで高次要素を安定化させ、剛性行列の条件数が $O(h^{-2})$ のスケーリングに従うことを保証し、曲面および一般の $n$ 次元多様体上での線形および高次要素に対して、エネルギーノルムおよび $L^2$ ノルムにおける最適な誤差推定を可能にする。

ABSTRACT

We develop and analyze a stabilization term for cut finite element approximations of an elliptic second order partial differential equation on a surface embedded in $\mathbb{R}^d$. The new stabilization term combines properly scaled normal derivatives at the surface together with control of the jump in the normal derivatives across faces and provides control of the variation of the finite element solution on the active three dimensional elements that intersect the surface. We show that the condition number of the stiffness matrix is $O(h^{-2})$, where $h$ is the mesh parameter. The stabilization term works for linear as well as for higher-order elements and the derivation of its stabilizing properties is quite straightforward, which we illustrate by discussing the extension of the analysis to general $n$-dimensional smooth manifolds embedded in $\mathbb{R}^d$, with codimension $d-n$. We also formulate properties of a general stabilization term that are sufficient to prove optimal scaling of the condition number and optimal error estimates in energy- and $L^2$-norm. We finally present numerical studies confirming our theoretical results.

研究の動機と目的

• 曲面上で楕円型PDEを解く際のカット有限要素法における不安定性および悪条件性を解消すること、特に高次要素に対して。
• 表面と交差する3次元要素における解の変動を制御する安定化機構を開発すること。
• 剛性行列の条件数が要素次数に依存しない最適なスケーリングを保証すること。
• codimension $d-n$ を持つ $[\mathbb{R}^d]$ に埋め込まれた一般の $n$ 次元滑らかなくびきの多様体へ安定化フレームワークを拡張すること。
• エネルギーノルムおよび $L^2$ ノルムにおける最適な誤差推定をもたらす一般の安定化項の十分条件を導出すること。

提案手法

• 表面における適切にスケーリングされた法線微分と、要素面を越えた法線微分のジャンプ制御を組み合わせた安定化項を導入する。
• 表面と交差するアクティブな3次元要素に安定化項を適用し、埋め込み空間内での解の変動を制御する。
• 剛性行列の条件数に対する理論的上限を導出し、それが $O(h^{-2})$ のスケーリングに従うことを証明する。
• $[\mathbb{R}^d]$ に埋め込まれた $n$ 次元滑らかな多様体（codimension $d-n$）に対しても同様の安定化原理を用いて一般化する。
• 一般の安定化項が条件数の最適スケーリングおよびエネルギーノルムと $L^2$ ノルムにおける最適誤差推定を保証するための十分条件を定式化する。
• 数値実験を用いて理論的予測の妥当性を検証し、条件数のスケーリングおよび収束率を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カット有限要素法における曲面上の最適な条件数スケーリングを保証するための安定化項は、どのように設計できるか？
• RQ2 どの法線微分項とジャンプペナルティの組み合わせが、カット曲面上の高次有限要素近似を安定化させるか？
• RQ3 この安定化フレームワークは、codimension $d-n$ を持つ一般の $n$ 次元多様体に拡張可能か？
• RQ4 エネルギーノルムおよび $L^2$ ノルムにおける最適な誤差推定を達成するための安定化項の十分条件は何か？
• RQ5 理論的予測である条件数と収束率は、数値実験でも成立するか？

主な発見

• 提案された安定化項により、有限要素空間の多項式次数に依存せず、剛性行列の条件数が $O(h^{-2})$ のスケーリングに従うことが保証される。
• 曲面上の線形および高次有限要素に対して、エネルギーノルムにおける最適な誤差推定が達成される。
• 安定化されたカット有限要素法に対して、$L^2$ ノルムにおける最適な誤差推定が確立される。
• 安定化機構は、$[\mathbb{R}^d]$ に埋め込まれた $n$ 次元滑らかな多様体へ自然に一般化され、最適な条件数と収束性を維持する。
• 数値的検証により理論的予測が確認され、期待される収束率および条件数のスケーリングが得られる。
• 安定化項は、表面と交差するアクティブな3次元要素における解の変動を効果的に制御し、悪条件性を防止する。