[論文レビュー] Stabilizations via Lefschetz Fibrations and Exact Open Books

Selman Akbulut, Arikan, M. Firat|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、(2n+1)-次元多様体上の接触開付き付きの正の安定化とそれらを誘導するリーマン・ファイブレーションの間の一対一対応を確立し、シンプレクティックな設定における正確かつ凸安定化へと拡張する。また、適合する正確なリーマン・ファイブレーションの凸安定化が、シンプレクティック同型な完備化を生じさせ、誘導される接触構造を保つことを証明し、3次元および4次元の既知の結果を高次元へ一般化する。

ABSTRACT

We show that if a contact open book $(Σ,h)$ on a $(2n+1)$-manifold $M$ ($n\geq1$) is induced by a Lefschetz fibration $π:W o D^2$, then there is a one-to-one correspondence between positive stabilizations of $(Σ,h)$ and \emph{positive stabilizations} of $π$. More precisely, any positive stabilization of $(Σ,h)$ is induced by the corresponding positive stabilization of $π$, and conversely any positive stabilization of $π$ induces the corresponding positive stabilization of $(Σ,h)$. We define \emph{exact open books} as boundary open books of compatible exact Lefschetz fibrations, and show that any exact open book carries a contact structure. Moreover, we prove that there is a one-to-one correspondence (similar to the one above) between \emph{convex stabilizations} of an exact open book and \emph{convex stabilizations} of the corresponding compatible exact Lefschetz fibration. We also show that convex stabilization of compatible exact Lefschetz fibrations produces symplectomorphic completions.

研究の動機と目的

• n ≥ 1 に対して、(2n+1)次元接触多様体への開付きの正の安定化とリーマン・ファイブレーションの間の対応を拡張すること。
• 適合する正確なリーマン・ファイブレーションの境界として正確な開付きを定義し、それらのシンプレクティック性質を確立すること。
• 正の安定化の正確なシンプレクティック版としての凸安定化を導入し、ファイブレーション構造と整合することを証明すること。
• 適合する正確なリーマン・ファイブレーションの凸安定化が、シンプレクティック同型な完備化を生じることを示すこと。
• 正確な開付きの凸安定化が、元の接触構造を保存することを確認し、既知の3次元および4次元の結果を一般化すること。

提案手法

• 多項式 $P(z_1, \dots, z_{n+1}) = \sum z_i^2$ のミルナー・ファイブレーションを用いて、$S^{2n+1}$ 上の標準的開付き $\mathcal{OB}$ を定義し、ページが閉じた接バンドル $\mathcal{D}(TS^n)$ に微分同相であることを示す。
• 多項式 $P$ のミルナー・ファイブレーションを用いて、標準的 $(2n+2)$-次元球面上に、境界が $\mathcal{OB}$ であるリーマン・ファイブレーション $\mathcal{LF}$ を構成する。
• ファイバー内のラグランジュ的 $n$-球面に沿ったマラスギ和を用いて、リーマン・ファイブレーションの正の安定化を定義し、3次元接触連結和の一般化とする。
• シンプレクティック形式 $\omega$、1次形式 $\alpha$、リウヴィルベクトル場 $\chi$ を持つファイブレーションを持つ場合、適合する正確なリーマン・ファイブレーションの境界として正確な開付きを定義する。
• ラグランジュ的ディスク $L$ がレジェンドリアンである場合に限って、正の安定化を凸安定化と定義し、シンプレクティック構造と整合することを保証する。
• モース指数の差が1で、交差が横断的であるペアのウェインハンドル $\{H_n, H_{n+1}\}$ は、シンプレクティックにキャンセル可能なペアを形成し、シンプレクティック同型な完備化を意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元において、接触開付きの正の安定化とそれらを誘導するリーマン・ファイブレーションの間に一対一対応が存在するか？
• RQ2 適合する正確なリーマン・ファイブレーションの境界として正確な開付きを定義でき、それらが明確な接触構造を持つのか？
• RQ3 適合する正確なリーマン・ファイブレーションの凸安定化が、シンプレクティック同型な完備化を生じるか？
• RQ4 正確な開付きの凸安定化が、それ自身が持つ接触構造を保存するか？
• RQ5 適合する正確なリーマン・ファイブレーションの文脈において、シンプレクティック構造および接触構造は安定化の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 開付き $(\Sigma, h)$ の正の安定化とそれに対応するリーマン・ファイブレーション $\pi: W \to D^2$ の間には一対一対応が存在し、開付きの各安定化が、対応するファイブレーションの安定化から生じることを示す。
• 適合する正確なリーマン・ファイブレーションの境界として定義される任意の正確な開付きは、ファイブレーション上のシンプレクティック形式によって誘導される明確な接触構造を持つ。
• レジェンドリアン $n$-ディスクを付加することで定義される、適合する正確なリーマン・ファイブレーションの凸安定化は、シンプレクティック同型な完備化を持つ新たな適合する正確なリーマン・ファイブレーションを生成する。
• 凸安定化に用いられるウェインハンドルのペア $\{H_n, H_{n+1}\}$ は、完備化においてシンプレクティックにキャンセル可能なペアを形成し、シンプレクティック同型なシンプレクティック被覆を保証する。
• 正確な開付き $(X,h)$ の任意の凸安定化 $\mathcal{S^{C}_{OB}}[(X,h);L]$ は、元の開付きと同一の接触構造 $\xi$ を持つ。これは、完備化がシンプレクティック同型であるためである。
• 安定化されたファイブレーションの境界上の接触構造は、元のファイブレーションの接触構造と接触同型であり、凸安定化の下での不変性を確認する。