[論文レビュー] Stable quasimaps to holomorphic symplectic quotients

Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特にナカジマ・キーバ・多様体を含む、正則シンプレクティック商への安定化されたねじれた準マップのモジュライ空間に対して、対称的障害理論を確立し、安定性パrameter δ が十分に大きい場合に δ-安定性と準マップ安定性が一致することを証明する。本研究は、準マップ理論とねじれたキーババンドルを用いて、ディアコネスクのADHMキューイバに関する結果を一般化し、モジュライ空間が完全な対称的障害理論を備え、トーラス作用のもとで固有であることを示している。

ABSTRACT

We study the moduli space of twisted quasimaps from a fixed smooth projective curve to a Nakajima's quiver variety and the moduli space of $δ$-stable framed twisted quiver bundles with moment map relations. We show that they carry symmetric obstruction theories and when $δ$ is large enough, they exactly coincide. These results generalize works of D.E. Diaconescu about the ADHM quiver, in the framework of the quasimap theory of I. Ciocan-Fontanine, D. Maulik and the author.

研究の動機と目的

• 準マップ理論の枠組みを、特にナカジマ・キーバ・多様体を含む正則シンプレクティック商へ拡張すること。
• 安定化 M-ねじれた準マップおよび δ-安定化フレームドねじれたキーババンドルのモジュライ空間を定義し、それらを研究すること。
• これらのモジュライ空間が対称的障害理論を備えていることを証明すること。
• 十分に大きな δ に対して、δ-安定性と準マップ安定性が一致することを示すこと。
• ADHMキューイバに関するディアコネスクの結果を、より広いクラスのキューイバ・多様体へ一般化すること。

提案手法

• 準マップ理論を用いて、正則シンプレクティック商への安定 M-ねじれた準マップのモジュライ空間を構成する。
• M が正則バンドルのペアの族であり、その積が正則層 ω_C に同型であるような M-ねじれたキーババンドルを導入する。
• X//G の GIT 商構成を用いて、正則シンプレクティック商を X////_λ,χG として定義する。
• 固定集合が C 上で固有であるとき、仮想局在化を適用して well-defined な不変量を取得する。
• 有界性結果とセール双対性を用いて、安定性解析におけるコホロロジー的条件を制御する。
• スロープ関数の比較と次数およびランクの上限を用いて、δ ≫ 0 のとき δ-安定性と準マップ安定性が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則シンプレクティック商への安定 M-ねじれた準マップのモジュライ空間は、対称的障害理論を備えているか？
• RQ2 ねじれたキーババンドルの δ-安定性が、どのような条件下で準マップ安定性と一致するか？
• RQ3 対称的障害理論は、ADHM 場合を超えて一般ナカジマ・キューイバ・多様体へ拡張可能か？
• RQ4 安定性条件 δ とモジュライ空間の幾何的構造との関係は何か？
• RQ5 トーラス作用および固定集合の固有性は、仮想局在化による不変量の構成にどのように影響するか？

主な発見

• 正則シンプレクティック商への安定 M-ねじれた準マップのモジュライ空間は、対称的障害理論を備えている。
• δ ≫ 0 のとき、ねじれたキーババンドルの δ-安定性は準マップ安定性と同値である。
• δ-安定化フレームドねじれたキーババンドルのモジュライ空間には、自然な対称的障害理論が存在する。
• δ が有界性およびスロープ差の上限に依存する閾値 δ₀ を超えると、準マップ安定性と δ-安定性が一致する。
• モジュライ空間は、モーメント写像関係を有する、ADHM ケースを超えたより広いクラスのキューイバ・多様体へ、ディアコネスクの結果を一般化する。
• トーラス作用が固定集合上で固有であるとき、モジュライ空間は C 上で固有となり、仮想局在化および残留不変量の構成が可能になる。