[論文レビュー] Stable tensor fields and moduli space of principal G-sheaves for classical groups

Tomás L. Gómez, Ignacio Sols|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的群 G = O(r, C) および Sp(r, C) に対して、ねじれのない層上の対称または反対称テンソル場を含む、主 G-層の一般化である半安定な主 G-層の概念を導入する。幾何的不変式理論（GIT）を用いて、これらの G-層によってコンパクト化された射影的モジュライ空間を構成し、GL(r, C) に対する以前の結果を直交的およびシミトープ的構造へと拡張する。

ABSTRACT

Abstract. Let X be a smooth projective variety over C. Let G be the group O(r, C), or Sp(r, C). We find the natural notion of semistable principal G-bundle and construct the moduli space, which we compactify by considering also principal G-sheaves, i.e., pairs (E, ϕ), where E is a torsion free sheaf on X and ϕ is a symmetric (if G is orthogonal) or antisymmetric (if G is symplectic) bilinear form on E. If G is SO(r, C), then we have to consider triples (E, ϕ, ψ), where ψ is an isomorphism between det(E) andOX such that det(ϕ) = ψ 2. More generally, we consider semistable tensor fields, i.e., multilinear forms on a torsion free sheaf, and construct their projective moduli space using GIT. Let X be a smooth projective variety of dimension n over C. A principal GL(r, C)bundle over X is equivalent to a vector bundle E of rank r. If X is a curve, the moduli space was constructed by Mumford, Narasimhan and Seshadri. If dim(X)> 1, to obtain a projective moduli space we have to consider also torsion free sheaves, and this was done by Gieseker, Maruyama and Simpson. Let G be the orthogonal group O(r, C) or symplectic group Sp(r, C). A principal

研究の動機と目的

• G が直交的またはシミトープ的群である場合の主 G-束における自然な半安定性の概念を定義すること。
• ベクトル束を超えて、対称または反対称双線形形式を備えたねじれのない層を含むモジュライ空間の構成を拡張すること。
• G-層、すなわち追加のテンソル場構造を有する層を含むことで、主 G-束のモジュライ空間をコンパクト化すること。
• 行列式の制約を含む三重組 (E, ϕ, ψ) を用いて、SO(r,C) へと構成を一般化すること。
• 幾何的不変式理論（GIT）を用いて、ねじれのない層上の半安定テンソル場の射影的モジュライ空間を確立すること。

提案手法

• 主 G-層を、ねじれのない層 E と、O(r,C) の場合は対称、Sp(r,C) の場合は反対称な双線形形式 ϕ からなるペア (E, ϕ) として定義する。
• SO(r,C) の場合、det(E) と O_X の間の同型写像 ψ を持つ三重組 (E, ϕ, ψ) を導入し、det(ϕ) = ψ² を満たすようにする。
• 幾何的不変式理論（GIT）を用いて、ねじれのない層上の半安定テンソル場の射影的モジュライ空間を構成する。
• Gieseker ら、Maruyama ら、Simpson の枠組みを、テンソル構造を組み込むことで、古典的群へと拡張する。
• ハイルベルト多項式と GIT 商を用いた半安定性の概念を用いて、良好なコンパクト化を保証する。
• 対称・反対称形式の一般化として、ねじれのない層上の多線形形式を検討し、モジュライの構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が O(r,C) または Sp(r,C) の場合、主 G-束における適切な半安定性の概念は何か？
• RQ2 dim(X) > 1 で G が古典的群である場合、主 G-束のモジュライ空間はどのようにコンパクト化できるか？
• RQ3 ねじれのない層にどのような構造を追加することで、古典的群の主束の概念を一般化できるか？
• RQ4 SO(r,C) の場合、行列式の制約を含めるとモジュライ空間にどのような影響があるか？
• RQ5 GIT を用いて、ねじれのない層上の半安定テンソル場の射影的モジュライ空間を構成できるか？

主な発見

• G = O(r,C) または Sp(r,C) の主 G-層に対して、GL(r,C) の古典的ケースを一般化した明確な半安定性の概念が確立された。
• 主 G-束のモジュライ空間は、対称または反対称形式を備えたねじれのない層である G-層を含むことでコンパクト化された。
• SO(r,C) の場合、det(ϕ) = ψ² を満たす三重組 (E, ϕ, ψ) が必要であり、これは群構造と整合的である。
• GIT を用いて、滑らかな射影的多様体上のねじれのない層上の半安定テンソル場の射影的モジュライ空間が構成された。
• GL(r,C) に対する以前の結果が、直交的およびシミトープ的構造を統一的に扱うフレームワークへと一般化された。
• モジュライ空間が射影的であることが示され、古典的理論がベクトル束を超えて構造を備えた層へと拡張された。