[論文レビュー] Stably dualizable groups

John Rognes|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$E$-局所安定ホモトピー圏における安定双対可能な群の一般化された双対性理論を導入し、$K(n)$-局所圏における幾何的でない群 $K(\mathbb{Z}/p,q)$ も含めた古典的ポincare双対性への拡張を実現する。主な貢献は、各群に移動により自己双対性をもたらす双対化スペクトラ $S^{adG}$ の構成であり、$\pi_*(L_E S)$ における明示的なフレームドバーディズム類 $[G]$ を有する。$K(n)$-局所ホモトピー理論における明示的計算が行われる。

ABSTRACT

We extend the duality theory for topological groups from the classical theory for compact Lie groups, via the topological study by J. R. Klein [Kl01] and the p-complete study for p-compact groups by T. Bauer [Ba04], to a general duality theory for stably dualizable groups in the E-local stable homotopy category, for any spectrum E. The principal new examples occur in the K(n)-local category, where the Eilenberg-Mac Lane spaces G = K(Z/p, q) are stably dualizable and nontrivial for 0 <= q <= n. We show how to associate to each E-locally stably dualizable group G a stably defined representation sphere S^{adG}, called the dualizing spectrum, which is dualizable and invertible in the E-local category. Each stably dualizable group is Atiyah-Poincare self-dual in the E-local category, up to a shift by S^{adG}. There are dimension-shifting norm- and transfer maps for spectra with G-action, again with a shift given by S^{adG}. The stably dualizable group G also admits a kind of framed bordism class [G] in pi_*(L_E S), in degree dim_E(G) = [S^{adG}] of the Pic_E-graded homotopy groups of the E-localized sphere spectrum.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群や $p$-コンパクト群を超えて、$E$-局所安定ホモトピー圏における一般の群のクラスに双対性理論を拡張すること。
• 群 $G$ を、$E$-局所圏で可逆かつ双対可能な双対化スペクトラ $S^{adG}$ を持つものとして定義すること。
• このような群に対して、$S^{adG}$ によるシフトを除いてアティヤ–ポアンカレ双対性を確立すること。これは多様体やリー群に対する古典的結果の一般化である。
• フレームドバーディズム類 $[G] \in \pi_*(L_E S)$ を定義し、$\operatorname{Pic}_E$-重み付きホモトピー群において、群の構造と安定ホモトピー類の関係を明らかにすること。
• $K(n)$-局所の場合を分析し、$G = K(\mathbb{Z}/p,q)$ が $0 \leq q \leq n$ に対して安定双対可能であることを示し、$[G]$ の明示的な $K(n)$-ホモロジー行動を特定すること。

提案手法

• 本稿では、群 $G$ が $E$-局所安定双対可能であるとは、その分類空間 $BG$ が $E$-局所圏において双対化スペクトラ $S^{adG}$ を持つこととして定義する。この $S^{adG}$ は、$S[G]$ の双対として構成される。
• アティヤ双対性の $E$-局所版を用い、$DG_+$ と $S^{adG} \wedge S[G]$ を同一視することで、$S^{adG}$ によるシフトを除いた自己双対性を確立する。
• $S^{adG}$ は、$E$-局所圏における $S[G]$ のスパンナー＝ホワイトヘッド双対として構成され、可逆であることが示される。
• ノルムおよび移行写像は、$X_{hG}$, $X_{tG}$, および $(S^{-adG} \wedge X)^{hG}$ を含むホモトピー固定点と余鎖により定義され、$S^{adG}$ によるシフトを伴う。
• フレームドバーディズム類 $[G]$ は、合成 $S^{adG} \xrightarrow{i} (S[G])_{hG} \xrightarrow{\kappa} (S[G]_{hG})^{hG} \simeq S^{hG} \xrightarrow{p} S$ として定義され、$\pi_*(L_E S)$ に値をとる。
• $K(n)$-局所の場合、$S^{adG}$ の $K(n)$-ホモロジーは $H^* = K(n)^*(G)$-コモジュールの原始的要素と同一視され、$[G]_*$ は補助写像 $\epsilon$ を通じて計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの位相的群が $E$-局所安定ホモトピー圏において双対化スペクトラ $S^{adG}$ を持つか？
• RQ2 $K(n)$-局所圏における非幾何的群 $K(\mathbb{Z}/p,q)$ に対して、ポアンカレ双対性をどのように一般化できるか？
• RQ3 $E$-局所フレームドバーディズム類 $[G] \in \pi_*(L_E S)$ は何か？ そして、これが安定ホモトピー類をどのように特定するか？
• RQ4 双対化スペクトラ $S^{adG}$ は、$E$-局所圏におけるノルムおよび移行写像の振る舞いをどのように制御するか？
• RQ5 $S^{adG}$ の $K(n)$-ホモロジーは何か？ また、$[G]$ が非自明であるか、または同型であるのはいつか？

主な発見

• $G = K(\mathbb{Z}/p,q)$ に対して、$0 \leq q \leq n$ のとき、$K(n)$-局所双対化スペクトラ $S^{adG}$ が存在し、リー群を超える双対性の一般化を実現する。
• $G = K(\mathbb{Z}/p,n)$ の場合、写像 $S^{adG} \to S$ は $K(n)$-ホモロジーで同型を誘導するため、$K(n)$-局所圏において $S^{adG} \simeq S$ である。
• フレームドバーディズム類 $[G] \in \pi_*(L_E S)$ は、$G = S^1$（$[G] = \eta$）および $G = (S^{2p-3})^\wedge_p$（$[G] = \alpha_1$）に対して非自明であり、$K(1)$-局所で検出可能である。
• $G = K(\mathbb{Z}/p,q)$ で $0 < q < n$ のとき、写像 $[G]_*: K(n)_*(S^{adG}) \to K(n)_*$ はゼロであり、$K(n)$-ホモロジーにおける正のアダムスフィルターションを示唆する。
• 群 $G$ が有限離散群であるとき、$[G]_*$ は $K(n)_*$ において $|G|$ を乗じる作用をもつ。これは群ホモロジーにおけるノルム要素を反映している。
• $G = K(\mathbb{Z}/p,n)$ のとき、$S^{adG}$ 上の $G$-作用はホモトピー的に自明であるため、ポアンカレ双対性同型 $DG_+ \simeq S[G]$ はホモトピー的同型を除いて $G$--equivariant である。