[論文レビュー] State Sums and Geometry

Frank Hellmann|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 49被引用数 7

ひとこと要約

本学位論文は、表現論と漸近解析を用いて、量子重力における状態和モデルの幾何的解釈を発展させる。3次元および4次元におけるSU(2)およびSL(2,ℂ)に基づく状態和の主要項漸近的挙動を、一様境界状態と双ベクトル幾何学を用いて導出し、 semiclassische極限において振幅がRegge計算の作用を再現することを示し、スピンフォアム振幅の幾何的性質を確立する。

ABSTRACT

In this thesis I review the definition of topological quantum field theories through state sums on triangulated manifolds. I describe the construction of state sum invariants of 3-manifolds from a graphical calculus and show how to evaluate the invariants as boundary amplitudes. I review how to define such a graphical calculus through SU(2) representation theory. I then review various geometricity results for the representation theory of SU(2), Spin(4) and SL(2,C), and define coherent boundary manifolds for state sums based on these representations. I derive the asymptotic geometry of the SU(2) based Ponzano-Regge invariant in three dimensions, and the SU(2) based Ooguri models amplitude in four dimensions. As a corollary to the latter results I derive the asymptotic behaviour of various recently proposed spin foam models motivated from the Plebanski formulation of general relativity. Finally the asymptotic geometry of the SL(2,C) based model is derived.

研究の動機と目的

• トポological量子場理論における状態和モデルの半古典的極限を幾何的漸近的解析を用いて理解すること。
• 3次元および4次元におけるスピンフォアム振幅と古典的Regge幾何学との間の対応を確立すること。
• 一様境界多様体を用いて、Ponzano-ReggeおよびOoguri型状態和の漸近的挙動を導出すること。
• 双ベクトルおよびスピン表現を用いて、ユークリッドおよびローレンツ型スピンフォアムモデルの幾何的解釈を統一すること。
• Ooguriモデルの幾何的性質を直接導出し、既存の結果を明確さと一般性の観点から再編成すること。

提案手法

• トポological量子場理論をSU(2)表現論に基づいて定義するため、Atiyah-Segal公理と三角形分割多様体上の状態和形式を用いる。
• グラフィカル計算と彩色ネットワークを用いて、分配関数および境界振幅を計算する。
• 単体の幾何的配置をモデル化するため、SU(2)表現に基づく一様境界多様体を導入する。
• 停留在位相近似とMorse-Bott関数を用いて、振幅の漸近的挙動を分析する。
• Spin(4)およびSL(2,ℂ)の双ベクトルおよびスピン表現を用いて、ユークリッドおよびローレンツ型符号の4次元幾何を特徴付ける。
• 半古典的極限における作用の臨界点からRegge作用を導出し、量子振幅と古典的幾何を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元SU(2) BF理論における状態和振幅は、半古典的極限においてどのようにRegge作用を再現するか？
• RQ2 双ベクトルがR^4またはR^{3,1}における幾何的4単体を記述するための条件は何か？
• RQ3 SU(2)およびSL(2,ℂ)の一様状態を用いて、幾何的配置を捉える境界多様体をどのように定義できるか？
• RQ4 4次元におけるOoguri SU(2) BFモデルの漸近的挙動は何か？また、正しいRegge作用をもたらすか？
• RQ5 SL(2,ℂ)のスピン表現は、ローレンツ型スピンフォアムモデルの幾何的解釈をどのように可能にするか？

主な発見

• 3次元Ponzano-Reggeモデルの漸近的挙動は、3次元球体の任意の三角形分割においてRegge作用を再現する。
• 4次元SU(2) BF状態和振幅は漸近的にRegge作用をもたらし、Ooguriモデルの幾何的性質を確認する。
• R^4またはR^{3,1}における4単体を形成する双ベクトルの集合に対して、自己双対および反自己双対分解を用いて必要十分条件を導出する。
• Ooguriモデルの漸近的公式は作用から直接導出され、幾何的性質の新規かつ簡略化された証明を提供する。
• ローレンツ型重力に対して、SL(2,ℂ)スピン表現を用いた漸近的解析により、振幅が正しい符号を持つローレンツ幾何に局在することが確認される。
• 結果はEPRL-FK型モデルへ一般化され、それらの振幅も半古典的極限においてRegge作用をもたらすことが示される。