[論文レビュー] Static large deviations of boundary driven exclusion processes

Jonathan Farfan|ArXiv.org|Aug 12, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、任意の次元における境界駆動型排他過程の定常測度について、大偏差原理を確立し、Freidlin-Wentzell理論における準位能がレート関数として機能することを証明する。BodineauとGiacominの動的アプローチを拡張し、近傍が小さくなる際に時間スケールが発散するという技術的ギャップを解消することで、長距離相関を有する高次元系でさえも、準位能が大偏差汎関数としての役割を果たすことを確認した。

ABSTRACT

We prove that the stationary measure associated to a boundary driven exclusion process in any dimension satisfies a large deviation principle with rate function given by the quasi potential of the Freidlin and Wentzell theory.

研究の動機と目的

• 任意の次元における境界駆動型排他過程の定常測度について、大偏差原理を確立すること。
• 近傍が小さくなる際に時間スケールTδが発散する場合に生じる、先行する動的大偏差証明における技術的ギャップを埋めること。
• 動的レート関数の準位能が、定常状態の確率測度における大偏差レート関数に一致することを確認すること。
• L²位相における準位能の下付き連続性を直接証明すること。
• Freidlin-Wentzell型戦略の適用範囲を、高次元かつ非平衡的相互作用粒子系へと拡張すること。

提案手法

• 時間依存の軌道を構築することで、Freidlin-Wentzell戦略を適応し、定常密度の近傍から出発し、有限時間Tδ以内に閉集合に到達するようにする。
• 良好な動的大偏差原理と流体力学方程式の性質を用いて、有界な動的レート関数を持つ長時間軌道の振る舞いを制御する。
• 動的レート関数が一様に有界な軌道は、ある時点でL²ノルムにおいて定常密度に近づく必要があることを確立する。
• L²位相における定常密度における準位能の連続性を証明し、上界の議論の拡張を可能にする。
• Cadlag経路空間におけるコンパクト性と部分列収束を用いて、大偏差レートの境界を導出する。
• 閉集合に到達する経路の上界における動的レート関数の下界をとる最小値に基づく背理法を用い、準位能の定義を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界駆動型排他過程の定常測度における大偏差レート関数として、動的レート関数の準位能が任意の次元で成立するか？
• RQ2 BodineauとGiacomin (2005) の上界議論は、δ → 0 の際に時間スケールTδが発散する場合にまで拡張可能か？
• RQ3 準位能はL²位相で下付き連続であるか？また、Derridaら(2001)の時間不変変分公式に依存せずに、直接証明可能か？
• RQ4 有界な動的レート関数を持つ長時間軌道は、必ずL²ノルムにおいて定常密度に近づくのか？
• RQ5 Freidlin-Wentzell戦略は、長距離相関を有する高次元排他過程へと成功裏に適用可能か？

主な発見

• 境界駆動型排他過程の定常測度は、Freidlin-Wentzell理論からの準位能に等しいレート関数をもって大偏差原理を満たす。
• 時間スケールTδがδ → 0 で発散する場合を扱うことで、先行研究における重要なギャップを埋めた。
• L²位相における定常密度における準位能の連続性は、上界の拡張を可能にする重要な技術的結果である。
• 動的レート関数が一様に有界な軌道は、ある時点でL²ノルムにおいて定常密度に任意に近づく必要がある。
• 準位能の下付き連続性は、Derrida ら (2001) の時間不変変分公式に依存せずに直接証明された。
• 本結果により、動的大偏差技法の適用範囲が、任意次元のより広い非平衡系クラスへと拡張された。