[論文レビュー] Static spherically symmetric Einstein-Vlasov bifurcations of the Schwarzschild spacetime

Fatima Ezzahra Jabiri|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 40被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、シュバルツシルト時空から分岐する1パラメータ族の静的・球対称解を、ブラックホールの事象の地平線の外に有限で球対称な物質シェルを持つように構成する。この手法は、シュバルツシルトに近い時空における閉じた時空的測地線と有効ポテンシャルエネルギーの分析に依拠し、陰関数定理を用いて外部領域におけるコンパクトなサポートを持つヴラソフ物質を有する解の存在を確立する。

ABSTRACT

We construct a one-parameter family of static and spherically symmetric solutions to the Einstein-Vlasov system bifurcating from the Schwarzschild spacetime. The constructed solutions have the property that the spatial support of the matter is a finite, spherically symmetric shell located away from the black hole. Our proof is mostly based on the analysis of the set of trapped timelike geodesics and of the effective potential energy for static spacetimes close to Schwarzschild. This provides an alternative approach to the construction of static solutions to the Einstein-Vlasov system in a neighbourhood of black hole vacuum spacetimes.

研究の動機と目的

• シュバルツシルト時空の摂動として得られる、新たな静的・球対称なアインシュタイン＝ヴラソフ系の解を構成すること。
• 物質がブラックホールの事象の地平線の外に有限で球対称なシェルとして閉じ込められた解の存在を示すこと。
• 時空的測地線と有効ポテンシャルエネルギーの分析を用いて、ブラックホール時空の近くで解を分岐させる代替的手法を提供すること。
• 球対称性と中心での正則性という標準的仮定を超えた相対論的運動論的理論における平衡状態の理解を拡張すること。

提案手法

• 静的・球対称時空の計量のアンザッツから出発し、衝突のない物質に対するヴラソフ方程式を用いて、縮約されたアインシュタイン＝ヴラソフ系を導出する。
• 分布関数はエネルギーと角運動量にのみ依存すると仮定し、位相空間でコンパクトなサポートを持つポリトロープアンザッツに従う。
• 時空的測地線の有効ポテンシャルエネルギーを分析し、エネルギーと角運動量パラメータに基づいて、円軌道、有界軌道、無限遠軌道、吸収軌道の分類を実施する。
• 適切な関数空間において陰関数定理を適用し、物質シェルの径方向境界によって定義されるパラメータ空間を用いて、縮約系を解く。
• シュバルツシルト解の近傍で関連する作用素のフレシェ微分可能性および逆可換性を確認することで、解の存在を確立する。
• 有効ポテンシャル方程式の根から得られる臨界パラメータ $\ell_{ub}(E)$ と $\ell_{lb}(E)$ は、異なる軌道行動領域を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的・球対称なアインシュタイン＝ヴラソフ系の解は、シュバルツシルト時空から分岐し、事象の地平線の外に物質が存在する形で構成可能か？
• RQ2 エネルギーと角運動量のどのような条件下で、シュバルツシルト幾何における測地線軌道が有界、無限遠、または吸収されるか？
• RQ3 縮約されたアインシュタイン＝ヴラソフ系に陰関数定理をどのように適用し、このような解の存在を証明できるか？
• RQ4 有効ポテンシャルは、物質シェルを構成するにあたって関連する粒子軌道の種別を分類するために果たす役割は何か？
• RQ5 中心で正則で、漸近的に平坦であるが、中心特異性を回避するコンパクトなサポートを持つヴラソフ物質を有する解は存在するか？

主な発見

• シュバルツシルト時空から分岐する1パラメータ族の静的・球対称なアインシュタイン＝ヴラソフ系の解が構成された。
• これらの解における物質は、ブラックホールの外部領域に位置する有限で球対称なシェルに閉じ込められている。
• この構成は、物質シェルの径方向境界によって定義されるパラメータ空間を用いた縮約系に陰関数定理を適用することに依拠している。
• 測地線軌道の分類—円軌道、有界軌道、無限遠軌道、吸収軌道—は、エネルギー $E$ と角運動量 $\ell$ の値に依存し、有効ポテンシャル方程式の根によって定義される領域 $\mathcal{A}_{circ}$、$\mathcal{A}_{bound}$、$\mathcal{A}_{unbound}$、$\mathcal{A}_{abs}$ に分かれる。
• 臨界値 $\ell_{ub}(E)$ と $\ell_{lb}(E)$ は、$X = \sqrt{(\ell - 12M^2)/\ell}$ における2次方程式の解として明示的に導出され、有界軌道と無限遠軌道の境界を定義する。
• 分析により、$E^2 < 1$ かつ $\ell \in (\ell_{lb}(E), \ell_{ub}(E))$ の場合、3つの正の根が存在し、それらは2つの半径の間で閉じ込められた有界軌道に対応する。一方、$E^2 \geq 1$ の場合、2つの根しか存在せず、それらは無限遠または脱出可能な軌道に対応する。