[論文レビュー] Strong cosmic censorship for T^2-symmetric cosmological spacetimes with collisionless matter

Mihalis Dafermos, Alan D. Rendall|ArXiv.org|Oct 14, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 6被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、コリジョンレス物質を伴う $T^2$-対称な宇宙論的時空に対して、強い宇宙裁縫を証明する。それは、Einstein-Vlasov系の一般な $C^2$-拡張不能解が、その最大発展を超えて拡張できないことを示すことによって達成される。証明は、キリング対称性から導かれるコーシー時空の剛性性質と、時空の境界上でリッチ曲率が消えることと、Vlasov場の非コンパクトな台集合による正のリッチ曲率との矛盾に依拠している。

ABSTRACT

We prove strong cosmic censorship for T^2-symmetric cosmological spacetimes (with spatial topology T^3 and vanishing cosmological constant Lambda) with collisionless matter. Gowdy symmetric spacetimes constitute a special case. The formulation of the conjecture is in terms of generic C^2-inextendibility of the metric. Our argument exploits a rigidity property of Cauchy horizons, inherited from Killing fields.

研究の動機と目的

• コリジョンレス物質を伴う $T^2$-対称時空における強い宇宙裁縫を確立し、Gowdy対称性に関する先行研究を拡張する。
• より一般的な $T^2$-対称クラスにおいて、漸近的解析が困難であるにもかかわらず、コーシー時空の形成という課題を解決する。
• Vlasov場の構造とキリングベクトルの対称性を活用して、一般に $C^2$-拡張不能性が成立することを示す。
• 非コンパクトな運動量支持を持つコリジョンレス物質が、コーシー時空を越えての $C^2$ 拡張を不可能にする理由を示す。

提案手法

• Weaver [19] が提示した最大発展の過去境界の特徴付けを、Vlasov場の非コンパクトな支持に適応する。
• コーシー時空の剛性性質を適用：もしノルム生成子がキリング場の張る空間に含まれるならば、$\mathrm{Ric}(K,K) \leq 0$ が成り立つ。
• 測地線に沿って速度とキリングベクトルの内積が保存されることを用い、初期データから時空境界への情報伝搬を実現する。
• Vlasov場の支持領域に属する初期条件を持つ測地線を構成し、コーシー時空の点において $\mathrm{Ric}(K,K) > 0$ であることを示す。
• 時空境界上での $\mathrm{Ric}(K,K) \leq 0$ と、物質支持から生じる $\mathrm{Ric}(K,K) > 0$ の矛盾を導出し、$C^2$-拡張不能性を証明する。
• Fatouの補題と曲率テンソルの連続性を用いて、極限点におけるリッチ曲率の正の性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的解析が不適切であるにもかかわらず、コリジョンレス物質を伴う $T^2$-対称クラスにおいて、強い宇宙裁縫を確立できるか？
• RQ2 運動量空間で非コンパクトな支持を持つVlasov場が、コーシー時空を越えての $C^2$ 拡張を妨げるか？
• RQ3 キリング対称性によって誘発されるコーシー時空の剛性性と、物質場によるリッチ曲率の正の性質の間にはどのような相互作用があるか？
• RQ4 過去境界の詳細な漸近的解析なしに、$C^2$-拡張不能性の予想を証明できるか？

主な発見

• 一般な $T^2$-対称初期データにコリジョンレス物質を伴うとき、最大発展は $C^2$-拡張不能であり、このクラスにおける強い宇宙裁縫が確認された。
• コーシー時空 $\mathcal{H}^{-}$ 上では、キリング対称性の剛性性により、ノルム生成子 $K$ 沿いのリッチ曲率が $\mathrm{Ric}(K,K) \leq 0$ を満たす。
• 運動量空間におけるVlasov場の非コンパクトな支持のおかげで、$\mathcal{H}^{-}$ の稠密な集合の点で $\mathrm{Ric}(K,K) > 0$ が成り立つ。これは、前記不等式と矛盾する。
• この矛盾から、$\mathcal{H}^{-}$ を越えての $C^2$ 拡張が不可能であることが示され、一般に $C^2$-拡張不能性が証明された。
• この結果は、Vlasov場が十分に小さな接方向の運動量の開集合と交差するという、完全な空間的サポートより弱い条件下でも成り立つ。
• この手法は、追加の物質場を含む系へも拡張可能であり、条件として光のエネルギー条件を満たし、関連領域におけるVlasov場が消えないことさえ満たされていればよい。