[論文レビュー] Stationarity and Moment Properties of some Multivariate Count Autoregressions

Zinsou Max Debaly, Lionel Truquet|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、反復確率写像に対する収縮および安定性技法を用いて、単変量および多変量カウント自己回帰過程の定常性およびモーメント性質を統一的に分析するフレームワークを確立する。既存の結果を改善し、最適な定常性条件を導出し、正則化推定が高次元時系列モデルで有効であるために不可欠な、INGARCHおよびその多変量拡張における指数モーメントの存在を証明する。

ABSTRACT

We study stationarity and moments properties of some count time series models from contraction and stability properties of iterated random maps. Both univariate and multivariate processes are considered, including the recent multivariate count time series models introduced recently by Doukhan et al. (2017). We improve many existing results by providing optimal stationarity conditions or conditions ensuring existence of some exponential moments.

研究の動機と目的

• 単変量および多変量カウント自己回帰過程の定常性およびモーメント性質を研究する一般的で統一的なアプローチを開発すること。
• 状態空間における非再帰性の欠如のため、標準的なマルコフ連鎖技法が機能しないという制限を克服すること。
• 収縮に基づく手法を、特にINGARCH型過程に適した高次および多変量モデルにまで拡張すること。
• 正則化推定量（例：LASSO）の一致性に不可欠な、指数モーメントの存在を保証する十分条件を確立すること。
• Doukhanら（2017）の既存結果を上回り、よりタイトでより一般的な定常性およびモーメント条件を提供すること。

提案手法

• WuとShao（2004）の平均収縮フレームワークを、確率写像の後向き反復を用いて高次自己回帰過程に適応すること。
• 状態 $ X_t $ の時間発展を、可測関数 $ F_s(x) $ を用いて定義し、$ X_{t+1} = F_{\epsilon_{t+1}}(X_t) $ と表す。ここで $ \epsilon_t $ はi.i.d.なノイズ項である。
• モーメントおよび収縮条件：$ \mathbb{E}[|f_0(x) - f_0(y)|] \leq C|x-y| $ および $ \mathbb{E}[|f_1^m(x) - f_1^m(y)|] \leq \kappa|x-y| $（$ \kappa < 1 $）を適用し、エルゴディシティおよび定常性を保証する。
• 同伴行列を定義し、係数行列のスペクトル半径に関する条件を用いることで、$ q $ 階多変量自己回帰にこのフレームワークを拡張する。
• 係数行列 $ A_j, B_j $ のベクトル化形を用い、行列ノルムを適用して、安定性のためのスペクトル半径が1未満である条件を導出する。
• スターリング数の第二種を用いたポアソン確率変数のモーメントバインディングを用い、尾部挙動を制御し、指数モーメント条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復確率写像を用いた多変量カウント自己回帰過程の定常解の存在を保証する条件は何か？
• RQ2 収縮技法は、カウントデータの高次および多変量自己回帰モデルにどのように一般化できるか？
• RQ3 これらの過程が指数モーメントを持つ条件は何か？そして、高次元推論においてそれがなぜ重要なのか？
• RQ4 単変量INGARCHモデルの結果を、統一的フレームワークを用いて多変量設定に拡張・改善できるか？
• RQ5 提案された条件は、Doukhanら（2017）の既存のものと比較して、タイトさおよび適用可能性の面でどのように異なるか？

主な発見

• 本稿は、反復確率写像の収縮に基づく、多変量カウント自己回帰の定常性の一般的十分条件を確立し、単変量および多変量の両ケースに適用可能である。
• 行列 $ \sum_{j=1}^q \begin{pmatrix} |B_j|_{\text{vec}} & |A_j|_{\text{vec}} \\ |B_j|_{\text{vec}} & |A_j|_{\text{vec}} \end{pmatrix} $ のスペクトル半径が1未満であると、定常性およびモーメントの存在が保証される。
• 指数モーメントの存在は、$ |M|_{\infty} < 1 $ という条件のもとで確立され、ここで $ M = \sum_{j=1}^q (|B_j|_{\text{vec}} + |A_j|_{\text{vec}}) $ である。この条件は高次元推定において極めて重要である。
• 著者らは、Doukhanら（2017）の結果を上回り、多変量INGARCH過程のよりタイトでより一般的な定常性条件を提供する。
• ポアソン分布に従うノイズの下で、一様なモーメントバインディング $ \|X_\lambda\|_r \leq (1+\delta)\lambda + b_{r,\delta} $ が導出され、$ \lambda $ に依存しない。この結果は指数モーメント解析を支援する。
• このフレームワークにより、単変量および多変量カウント過程を洗練された統一的枠組みで取り扱うことが可能となり、標準的なINGARCHおよびINARモデルが特別な場合として包含される。