[論文レビュー] Statistical convergence of order $α$ in probability

Pratulananda Das, Sanjoy Ghosal+1 more|SHILAP Revista de lepidopterología|May 18, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 29被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、確率論における確率変数の列のための4つの新しい収束モードを導入し、それらを分析する。すなわち、確率におけるα順序の統計的収束、確率におけるα順序の強いp-チェザロ和分可能性、確率におけるα順序のラクーナリィ統計的収束（Sθ収束）、確率におけるα順序のNθ収束である。主な貢献は、これらの収束タイプが極限をほとんど確実に等しくする条件を確立することであり、特に、ある列がそれぞれα順序の統計的収束およびβ順序のラクーナリィ統計的収束の両方で収束する場合、liminf q_r > 1 かつ β ≤ α ならば、極限はほとんど確実に等しいことを示している。

ABSTRACT

In this paper ideas of different types of convergence of a sequence of random variables in probability, namely, statistical convergence of order $α$ in probability, strong $p$-Ces$\grave{\mbox{a}}$ro summability of order $α$ in probability, lacunary statistical convergence or $S_θ$-convergence of order $α$ in probability, ${N_θ}$-convergence of order $α$ in probability have been introduced and their certain basic properties have been studied.

研究の動機と目的

• 確率論の文脈において、統計的収束の概念をα順序へ拡張すること。
• 統計的収束のα順序における確率、強いp-チェザロ和分可能性のα順序における確率、ラクーナリィ統計的収束（Sθ収束）のα順序における確率、Nθ収束のα順序における確率の4つの新しい和分法を定義し、それらを研究すること。
• これらの4つの収束タイプの間の関係を確立し、それらの極限がほとんど確実に等しくなるための十分条件を導出すること。
• 特に、Bhuniaら、Colak、Fridy & Orhanらの先行研究を改善することで、確率的設定における統計的収束および和分可能性理論の既存結果を一般化すること。

提案手法

• 自然数の部分集合に対するα-自然密度の概念を導入し、古典的統計的収束をα順序へ拡張する。
• P(|X_n - X| ≥ ε) ≥ δ となるインデックスの正規化された個数の極限を用いて、確率におけるα順序の統計的収束を定義する。この値は n^α でスケーリングされる。
• lacunary列（θ = {k_r}）の概念を適用し、lacunary列の長さ h_r = k_r - k_{r-1} を用いて、確率におけるα順序のSθ収束を定義する。
• 指数pおよびα順序を用いたチェザロ平均型の和分可能性を用いて、確率におけるα順序の強いp-チェザロ和分可能性を定義する。
• lacunary区間内のインデックス数と全インデックス数の比に基づくNθ収束法を、h_r^α でスケーリングして定義する。
• 確率的不等式と漸近的解析を用いて、収束タイプを比較し、極限の等価性のための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率におけるα順序の統計的収束が、β順序のラクーナリィ統計的収束に含む条件は何か。逆に、β順序のラクーナリィ統計的収束がα順序の統計的収束に含む条件は何か。
• RQ2 確率におけるα順序の強いp-チェザロ和分可能性と他の収束タイプとの関係は何か。
• RQ3 比 q_r = k_r / k_{r-1} が liminf q_r > 1 を満たすとき、α順序およびβ順序の収束モードはどのように関係するか。
• RQ4 ある列が異なる順序αおよびβにおける統計的収束およびラクーナリィ統計的収束の両方で収束することができるか。この場合、極限がほとんど確実に等しくなる条件は何か。
• RQ5 異なる収束タイプのα順序において、極限が一意であるための必要十分条件は何か。

主な発見

• 確率におけるα順序の統計的収束およびβ順序のラクーナリィ統計的収束の両方で収束する確率変数の列が、liminf q_r > 1 かつ β ≤ α を満たすならば、極限はほとんど確実に等しい。
• 本稿は、PS^α ⊂ PSθ^β が成り立つためには liminf q_r > 1 が必要であることを証明し、この条件が成り立たない場合の反例を提示している。
• lacunary区間で X_n = ±1 であり、それ以外では確率が小さい範囲で X_n = 0 または 1 となるような列は、確率におけるβ順序のSθ収束に収束しないが、確率における1順序の統計的収束には収束する。
• 本稿は、α順序の統計的収束による極限と、β順序のラクーナリィ統計的収束による極限が、上記の条件下でほとんど確実に等しいことを確立している。
• 著者らは、収束モードが同値でないことが示され、順序αおよびβが収束タイプ間の関係を決定する上で重要な役割を果たしていることを示している。
• 証明技法は、αおよびβ正規化密度を用いて、P(|X_n - X| ≥ ε) ≥ δ を満たす集合の測度をバウンディングすることに依拠しており、極限がほとんど確実に一意でない場合に矛盾を導く。