[論文レビュー] Statistical Learning of Value-at-Risk and Expected Shortfall

David Barrera, S Crépey+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2022

Statistical Methods and Inference参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ラドエーチャー複雑度およびバプニク＝チェルヴォネンクス（VC）理論を用いて、一般の損失関数に対する非パラメトリック回帰の非漸近的かつ分布フリーな信頼区間を確立する。値ごとのリスク（VaR）および期待ショートフォール（ES）の近似に対する推定誤差の高確率的境界を確立し、独立でない非定常学習標本に対しても、明示的な集中不等式と最小二乗回帰における最適性保証を含む、先行研究の拡張を達成する。

ABSTRACT

We propose a non-asymptotic convergence analysis of a two-step approach to learn a conditional value-at-risk (VaR) and a conditional expected shortfall (ES) using Rademacher bounds, in a non-parametric setup allowing for heavy-tails on the financial loss. Our approach for the VaR is extended to the problem of learning at once multiple VaRs corresponding to different quantile levels. This results in efficient learning schemes based on neural network quantile and least-squares regressions. An a posteriori Monte Carlo procedure is introduced to estimate distances to the ground-truth VaR and ES. This is illustrated by numerical experiments in a Student-$t$ toy model and a financial case study where the objective is to learn a dynamic initial margin.

研究の動機と目的

• 非定常的かつ非定常的学習標本における一般損失関数を用いた非パラメトリック回帰の非漸近的かつ高確率的境界を導出すること。
• カップリング技術を用いて、独立同分布（i.i.d.）仮定を緩和し、ラドエーチャー複雑度に基づく誤差境界を従属データへ拡張すること。
• 非定常的かつ従属的標本下での最小二乗回帰において、平均$L^2$-距離の観点から最適性を確立すること。
• 非定常的状況下におけるラドエーチャー理論の自立的かつアクセス可能な参照資料を提供し、文献における空白を埋めること。
• [barcregobngusaa] で提案された値ごとのリスクおよび期待ショートフォール推定法の収束解析を支援すること。

提案手法

• 一般損失関数に対して、経験的リスクと期待リスクの乖離に関する高確率的上界を導出するため、ラドエーチャー複雑度理論を用いる。
• 経験過程論を介した集中不等式を適用し、回帰推定値と条件付き期待値との乖離を制御する。
• 重い尾を持つまたは有界でない応答変数に対処するため、切断に基づくアプローチを導入し、$L^2$-可積分性の下で境界を可能にする。
• [BG20] からのカップリング技術を用いて、独立性に基づく境界を$\beta$-混合従属標本へ拡張する。
• 推定関数と真の条件付き期待値との平均$L^2$-距離をバインドする重要な不等式（補題4.1）を導出する。この不等式には、切断によるバイアス項と、サンプリングによる分散項が含まれる。
• 推定誤差をバイアスと分散の成分に分離するため、$(a+b)^2 \leq (1+\eta)a^2 + (1+1/\eta)b^2$ の不等式を用いることで、頑健なバインドを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般損失関数を用いた非パラメトリック回帰において、非定常的かつ従属的学習標本下で非漸近的信頼区間を導出可能か？
• RQ2 ラドエーチャー複雑度は、どのように従属データに拡張され、推定誤差の高確率的境界を提供するか？
• RQ3 非定常的かつ従属的状況下での最小二乗回帰における収束の最適レートは何か？また、オラクルリスクと比較するとどうなるか？
• RQ4 切断およびカップリング技術をどのように組み合わせて、重い尾を持つ応答設定下でのバイアスと分散を制御するか？
• RQ5 バプニク＝チェルヴォネンクス理論は、一般の標本仮定下での最小二乗回帰の最適性を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、確率 $1-\delta$ 以上で有効である平均$L^2$-距離に関する高確率的境界（4.63）を確立した。この境界は、推定回帰関数$\hat{g}$と真の条件付き期待値$\Phi_k$との間の距離をバインドする。
• 境界（4.63）は3つの成分に分解される：関数クラス上での最小リスクに比例する項、$\epsilon_n(c,\lambda)$ を通じたサンプリング乖離を捉える項、および$\mathbb{E}[(|W_k|-B)^2 \mathbf{1}_{\{|W_k|>B\}}]$ を含む切断によるバイアス項。
• 境界は従属性に頑健である：[BG20] のカップリング法により、独立性に基づくラドエーチャー境界が$\beta$-混合標本へ拡張可能である。
• 結果（4.63）は、$B \to \infty$ かつ $\eta, \eta' \to 0$ のとき、i.i.d. 情報に回帰するため、タイトであると見なせる。
• 本稿は、最小二乗回帰スキームが、定数倍の要因を除き、$L^2$-リスクにおいて最適であることを示した。境界は、ややいなめらかなモーメント条件の下で$O(\log(1/\delta)/n)$ のスケーリングを示す。
• 解析により、[barcregobngusaa] における値ごとのリスクおよび期待ショートフォール推定法の収束に対する厳密な基礎が提供された。特にピンバルおよび最小二乗スキームにおいて顕著である。