[論文レビュー] Steady-state GI/GI/n Queue in the Halfin-Whitt Regime

David Gamarnik, David A. Goldberg|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、弱い条件下でHalfin-Whitt領域におけるFCFS GI/GI/n キューの正規化された定常状態キュー長分布のtightnessを確立する。極限定常状態キュー長の大きな偏差指数に対する一致する上界と下界を導出するが、下界は特にポアソン到着の場合に証明されており、弱収束するガウス過程に収束する新しい構造的バインドを用いる。

ABSTRACT

We consider the FCFS $GI/GI/n$ queue in the so-called Halfin-Whitt heavy traffic regime. We prove that under minor technical conditions the associated sequence of steady-state queue length distributions, normalized by $n^(1/2)$, is tight. We derive an upper bound on the large deviation exponent of the limiting steady-state queue length matching that conjectured by Gamarnik and Momcilovic in \cite{GM.08}. We also prove a matching lower bound when the arrival process is Poisson. Our main proof technique is the derivation of new and simple bounds for the FCFS $GI/GI/n$ queue. Our bounds are of a structural nature, hold for all $n$ and all times $t \geq 0$, and have intuitive closed-form representations as the suprema of certain natural processes which converge weakly to Gaussian processes. We further illustrate the utility of this methodology by deriving the first non-trivial bounds for the diffusion process studied in \cite{R.09}.

研究の動機と目的

• Halfin-Whittの重交通領域におけるGI/GI/n キューにおいて、正規化された定常状態キュー長分布のtightnessを確立すること。
• 極限定常状態キュー長の大きな偏差指数に対する上界を導出し、GamarnikとMomcilovicの予想と一致させること。
• 到着過程がポアソンの場合に、大きな偏差指数に対する一致する下界を証明すること。
• すべてのnおよびすべてのt ≥ 0に対して成り立つFCFS GI/GI/n キューのための新しい構造的バインドを開発すること。
• Ramanan (2009) で取り上げられた拡散過程に対して非自明なバインドを導出することで、これらのバインドの有効性を示すこと。

提案手法

• すべてのnおよびすべてのt ≥ 0に対して成り立つ、FCFS GI/GI/n キューのための新しい単純なバインドを導出し、構造的に整合性があるものとする。
• これらのバインドを、弱収束するガウス過程に収束する自然な過程の上界として表現する。
• これらの過程の弱収束を用いて、キュー長分布の漸近的挙動を分析する。
• これらのバインドを用いて、正規化された定常状態キュー長系列のtightnessを確立する。
• 大きな偏差技法を用いて、極限キュー長尾の指数に対する上界と下界を導出する。
• この手法を拡張し、Ramanan (2009) における拡散過程に対して非自明なバインドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い技術的条件のもとで、Halfin-Whitt領域における正規化された定常状態キュー長分布の系列はtightか？
• RQ2 極限定常状態キュー長の大きな偏差指数に対する上界を、GamarnikとMomcilovicの予想と一致させる形で導出可能か？
• RQ3 到着過程がポアソンの場合に、大きな偏差指数に対する一致する下界は存在するか？
• RQ4 すべてのnおよびt ≥ 0に対して成り立ち、弱収束するガウス過程に収束するGI/GI/n キューのための構造的バインドを開発可能か？
• RQ5 提案されたバインド手法を拡張し、Ramanan (2009) における拡散過程に対して非自明なバインドを得られるか？

主な発見

• 正規化された定常状態キュー長分布の系列（n^(1/2)で正規化）は、Halfin-Whitt領域において弱い技術的条件下でtightである。
• 極限定常状態キュー長の大きな偏差指数に対する上界が導出され、GamarnikとMomcilovicの予想と一致する。
• 到着過程がポアソンの場合に、大きな偏差指数に対する一致する下界が確立された。
• 提案されたバインドは構造的であり、すべてのnおよびすべてのt ≥ 0に対して有効であり、弱収束するガウス過程に収束する過程の上界として表現される。
• この手法により、Ramanan (2009) で研究された拡散過程に対する初めての非自明なバインドが得られた。
• バインドは直感的で閉形式であり、FCFS GI/GI/n キューの重交通における解析のための新しい分析的枠組みを提供する。