[論文レビュー] Steady streaming between two vibrating planes at high Reynolds numbers

Konstantin Ilin, Andrey Morgulis|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2011

Nanofluid Flow and Heat Transfer参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、高レイノルズ数における2つの振動する平面板の間の定常ストリーミングについて、ヴィショイク＝リュスティルニク法を用いて漸近的理論を展開し、ストークス運搬補正を加えた平均化されたナビエ＝ストークス方程式を導出する。主な結果として、同じ方向に伝播する平面波によって誘発される一様な流れに対する解析的解が得られ、これはペルスタルプピング理論を高レイノルズ数領域へと拡張するものである。

ABSTRACT

We consider incompressible flows between two transversely vibrating solid walls and construct an asymptotic expansion of solutions of the Navier-Stokes equations in the limit when both the amplitude of vibrations and the thickness of the Stokes layer are small and have the same order of magnitude. Our asymptotic expansion is valid up to the flow boundary. In particular, we derive equations and boundary conditions, for the averaged flow. In the leading order, the averaged flow is described by the stationary Navier-Stokes equations with an additional term which contains the leading-order Stokes drift velocity. In a slightly different context (for a flow induced by an oscillating conservative body force), the same equations had been derived earlier by Riley (2001). The general theory is applied to two particular examples of steady streaming induced by transverse vibrations of the walls in the form of standing and travelling plane waves. In particular, in the case of waves travelling in the same direction, the induced flow is plane-parallel and the Lagrangian velocity profile can be computed analytically. This example may be viewed as an extension of the theory of peristaltic pumping to the case of high Reynolds numbers.

研究の動機と目的

• 振幅が小さく、ストークス層の厚さが小さい条件下で、横方向に振動する2つの壁の間の粘性非圧縮流れに対して、$ R_s \sim 1 $ となるレイノルズ数スケーリングのもとで、体系的な漸近展開を開発すること。
• 一次流れにおける非線形相互作用を考慮した、境界面まで有効な平均化（定常ストリーミング）方程式および境界条件を導出すること。
• 古典的なペルスタルプピング理論を、進行波および定常波によって誘発される流れの解析を通じて、高レイノルズ数流れへと拡張すること。
• チャネル内を通過する総体積流量を最大にする最適な壁変形プロファイルを特定すること。
• 特に短波長振動および高 $ R_s $ 情報において、現在の漸近的枠組みの限界を特定すること。

提案手法

• 壁の変位振幅とチャネル高さの比を表す小パラメータ $ \epsilon $ を用いて、ヴィショイク＝リュスティルニク法により漸近展開を構築すること。
• 時間の速い振動と遅い平均的運動を分離する多重スケール法を用い、一次方程式に非線形項を保持すること。
• 一次流れのストークス運搬速度に比例する追加項を含む平均化ナビエ＝ストークス方程式を導出することにより、定常的な流れのネット効果を捉えること。
• 2つの具体的なケースにこの手法を適用する：定常波（循環流を生じる）および同じ方向に伝播する進行波（一様な流れを生じる）。
• 進行平面波の場合は、漸近方程式を解析的に解き、ラグランジュ的流れの速度プロファイルの明示的表現を得ること。
• 壁変形のフーリエ級数展開を用いて、一般の周期的振動に対する平均化された速度場を表現し、最適な調和成分を選択することで流量を最適化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリーミングのレイノルズ数 $ R_s \sim 1 $ であるとき、平行な2枚の壁の横方向振動によって誘発される定常ストリーミングの流れの構造はどのようなものか？
• RQ2 ストークス層の厚さが壁の変位振幅と同等に近い場合、非減衰的な境界層の振る舞いを漸近解はどのように扱うか？
• RQ3 進行する調和波によって誘発される平均化された流れは解析的に解けるか？その結果得られる速度プロファイルはどのようなものか？
• RQ4 与えられた振動振幅のもとで、チャネル内を通る総体積流量を最大にする壁変形プロファイルは何か？
• RQ5 異なる種類の壁振動（曲げ vs. 収縮・拡張）に対して、波長が増加するにつれて流れの構造はどのように変化するか？

主な発見

• 同じ方向に伝播する進行波の場合は、定常ストリーミングの流れは一様で二次元的であり、ラグランジュ的流れの速度プロファイルは中心で最小で壁付近で最大となる対称的形状を示す。
• 短波長極限において、速度プロファイルは壁付近の薄い境界層を除き、チャネル全域でほぼ一定となり、境界層内では急激に増加する。
• 長波長では、チャネル内での速度の変化が小さくなり、収縮・拡張波では波長が長くなるにつれて最大速度が急激に増加するが、曲げ波では減少する。
• 体積流量を最大にする最適な壁変形は、単一の調和成分に対応する。収縮・拡張波では第1調和成分、曲げ波ではより高い調和成分（例：$ m=4 $ for $ k=1 $）が最適である。
• 逆方向に伝播する進行波の場合は、短波長では「猫の目」型の渦を伴うせん断流から、長波長では交互に現れる複雑な渦のパターンへと流れの構造が変化する。
• 水平方向のスケールがチャネル高さよりも著しく小さい場合には理論が破綻することから、短波長領域では二重境界層モデルの導入が不可欠であることが示唆される。