[論文レビュー] Steady viscous flows in an annulus between two cylinders produced by vibrations of the inner cylinder

Konstantin Ilin, Muhammad Sadiq|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、内側の円筒の小振幅横方向振動によって誘発される、同軸二重円筒間のアニュラ領域内における定常粘性流れを調査する。ヴィシク＝リュスティリーン法を用いて、レイノルズ数が1次オーダーである場合に、平均流れ関数の $O(\alpha^{3/2})$ までの一様に有効な漸近展開を構築し、先行研究における $O(\alpha^{3/2})$ 項の欠落を解消するとともに、ラグランジュ的・オイラー的フレーム間の変換におけるストークス漂流の役割を明確にした。

ABSTRACT

We study the steady streaming between two infinitely long circular cylinders produced by small amplitude transverse vibrations of the inner cylinder about the axis of the outer cylinder. The Vishik-Lyusternik method is employed to construct an asymptotic expansion of the solution of the Navier-Stokes equations in the limit of high-frequency vibrations for Reynolds numbers of order of unity. The effect of the Stokes drift of fluid particles is also studied. It is shown that it is nonzero not only within the boundary layers but also in higher order terms of the expansion of the averaged outer flow.

研究の動機と目的

• 二重円筒間の定常ストリーミングにおける平均流れ関数の漸近展開において、欠落していた $O(\alpha^{3/2})$ 項を解消すること。
• 高周波振動下におけるオイラー的・ラグランジュ的速度場の関係とフレーム依存性の文脈で、それらの関係を明確にすること。
• ストークス漂流が、境界層を越えた外流領域において平均流れに与える影響を調査すること。
• 振動する内側円筒の速度がゼロである平均位置における固定境界形式の妥当性を裏付けるために、スリップ境界条件をその平均位置に移行させる根拠を提示すること。
• 時間依存座標変換を用いた先行の漸近的取り扱いにおける一貫性の欠如、特に定常流れの物理的解釈に関する問題を解決すること。

提案手法

• 高周波振動の極限において、ナビエ＝ストークス方程式の正則漸近展開を構築するため、ヴィシク＝リュスティリーン法の適用。
• 解を $\epsilon = \alpha^{1/2}$ のべき級数として展開し、$O(\epsilon^3)$ まで（すなわち $O(\alpha^{3/2})$ まで）の展開を実行。
• 振動する円筒の平均位置の周りにおけるテイラー展開を用いて、移動境界問題を固定境界問題に変換。
• 境界層（内側）とバルク流れ（外側）の解を組み合わせた複合展開を構築し、一様有効性を確保。
• 平均オイラー的速度と平均ラグランジュ的速度（粒子軌跡速度）を比較することで、ストークス漂流を組み込む。
• 先行研究[12]のコンフォーマル写像法を基盤とし、物理座標系に逆変換した後、物理的流れ場を回復するためにテイラー展開を適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、二重円筒間の定常ストリーミングの漸近的取り扱いにおいて、平均流れ関数展開の $O(\alpha^{3/2})$ 項が欠落していたのか？
• RQ2 ストークス漂流は、境界層を越えた外流領域において、平均流れにどのように寄与するか？
• RQ3 移動フレームで得られた定常ストリーミング解は、固定された実験室フレームでの解と同等か？
• RQ4 $\nu = O(1)$ の場合に、振動する円筒上でのスリップ境界条件を、その平均位置における固定円筒に厳密に移行できるか？
• RQ5 先行研究で用いられた時間依存座標変換が、定常流れの物理的解釈に与える影響は何か？

主な発見

• $O(\alpha^{3/2})$ 項はゼロではなく、外流領域の完全な記述には不可欠であり、これにより先行研究における欠落が解消された。
• ストークス漂流は境界層にとどまらず、外流領域でも非ゼロであり、平均ラグランジュ的速度場に寄与する。
• 移動フレームから固定フレームへの変換では、オイラー的速度の定常成分が保存されないため、解はフレーム依存性を示す。
• 境界層厚さ $O(\epsilon)$ が円筒の変位 $O(\epsilon^2)$ よりも大きいことから、$\nu = O(1)$ の場合に、振動円筒から平均位置への境界条件の移行が正当化される。
• 本稿で得られた漸近解は、実験室フレームで観測される物理的流れと整合的であるが、時間依存座標変換を用いた先行手法では逆変換が行われていなかったため、物理的解釈が不完全であった。
• $\nu = 0.4$、$\epsilon = 0.048$、$R = 1.7$ の場合の数値的ストリームラインは、外流領域にジェットに類似した構造を示しており、高 $Re_s$ の定常ストリーミングの挙動と整合的である。