[論文レビュー] Stein's method for Brownian approximations

Laure Coutin, Laurent Decreusefond|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間におけるウォッサーシュタイン距離の近似のためのシュタイン法フレームワークを構築し、ポアソン過程とドンスカーの定理を用いたブラウン運動近似の収束速度を分析する。マルチャヴィン微積分と Hölder-連続関数空間上のシュタイン法を組み合わせることで、ブラウン運動のポアソン近似における収束速度が $\lambda^{-1/2}$ であることが確立され、従来の手法で生じていたパスの不連続性に起因するギャップが解消される。

ABSTRACT

Motivated by a theorem of Barbour, we revisit some of the classical limit theorems in probability from the viewpoint of the Stein method. We setup the framework to bound Wasserstein distances between some distributions on infinite dimensional spaces. We show that the convergence rate for the Poisson approximation of the Brownian motion is as expected proportional to $\\lambda^{-1/2}$ where $\\lambda$ is the intensity of the Poisson process. We also exhibit the speed of convergence for the Donsker Theorem and for the linear interpolation of the Brownian motion. By iterating the procedure, we give Edgeworth expansions with precise error bounds.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間上の確率測度間のウォッサーシュタイン距離をバウンディングするためのシュタイン法フレームワークの構築。
• ブラウン運動を近似する際のポアソン過程のパス不連続性が引き起こす収束速度の不整合を解消すること。
• 線形補間を用いたブラウン運動の近似におけるドンスカーの定理の収束速度を、洗練された近似フレームワークを用いて確立すること。
• 有限次元ガウス近似にとどまらないシュタイン法の拡張を、ヒルベルト空間値過程に対してマルチャヴィン微積分を組み込むことで実現すること。

提案手法

• 目的のガウス測度を特徴付けるための1つのマルチャヴィン勾配と、近似過程を特徴付けるためのもう1つのマルチャヴィン勾配を用いた、ヒルベルト空間上でのシュタイン法の定式化。
• マルチャヴィン微積分からの部分積分公式を適用し、シュタイン法における明示的カップリングの必要性を回避する。
• 区分的微分可能ポアソンパスと Hölder-連続ブラウンパスの両方を埋め込むために、$\mathcal{I}_{\beta,2}$（$\beta < 1/2$）を用いる。
• 1-Lipschitz関数およびその2階微分を含むシュタイン方程式の解を用いて、ウォッサーシュタイン距離のバウンディングを導出する。
• 連続線形作用素を介して、標準ブラウン運動から分数ブラウン運動への結果の拡張を可能にする転送原理を用いる。
• 特に $I^{1-\beta}_{0^+}$ を用いて、作用素ノルムおよび分数積分作用素により誤差項を制御し、収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化された補正付きポアソン過程がブラウン運動に近づく際のウォッサーシュタイン距離における収束速度は何か？
• RQ2 シュタイン法は無限次元ヒルベルト空間にどのように適応可能か、分布収束を分析するためのものか？
• RQ3 ポアソン-ブラウン運動近似におけるパス不連続性の問題は、共通の関数空間フレームワークによって解消可能か？
• RQ4 ランダムウォークの線形補間を用いたドンスカーの定理における収束速度は何か？
• RQ5 極限過程の正則性、例えば分数ブラウン運動のHurst指数に依存して収束速度はどのように変化するか？

主な発見

• ブラウン運動のポアソン近似における収束速度は $\lambda^{-1/2}$ であり、以前の研究で示唆された補正項が不要であることが確認された。
• 両過程を $\beta < 1/2$ の $\mathcal{I}_{\beta,2}$ に埋め込むことで、パスの不連続性に起因するギャップが解消され、共通の正則性が保証される。
• ドンスカーの定理において、対称ランダムウォークの線形補間を用いる場合、収束速度は $\lambda^{-1/2}$ であることが示された。
• 分数ブラウン運動（Hurst指数 $H$）のポアソン chaotic 近似において、収束速度は $\frac{a}{3\sqrt{\lambda}}$ に達する。
• 誤差バウンディングは、$\sum_{j=1}^{m}\|H_{m}^{\sharp}(j)\|_{l^2(\mathbb{N})}^3 \leq \frac{m^{3\beta - 7/2}}{(1-\beta)\Gamma(1-\beta)^2}$ で与えられるノルムにより制御され、これが収束速度を支配する。
• 転送原理により、作用素 $\Theta_H = K_H \circ I^{-1}_{0^+}$ を介して、結果が分数ブラウン運動へと拡張可能であり、収束速度が保持される。