[論文レビュー] Stein's Method for Law of Large Numbers under Sublinear Expectations

Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非線形期待（sublinear expectations）の下での大数の法則における誤差見積もりを導くためのSteinの方法の枠組みを確立する。Hamilton-Jacobi-Bellman方程式の滑らかな近似を用いた粘性解の構成により、リプシッツ関数の上限に対する収束速度 $ O(n^{-1/2}) $ を証明した。これは、確率的ツールがモデルの不確実性により失敗する非線形設定において、古典的なSteinの方法を明示的な境界を伴って拡張したものである。この境界は、確率変数の2次の絶対モーメントに依存する。

ABSTRACT

Peng, S. (\cite{P08b}) proved the law of large numbers under a sublinear expectation. In this paper, we give its error estimates by Stein's method.

研究の動機と目的

• モデルの不確実性のため古典的確率的ツールが失敗する非線形期待空間へのSteinの方法の拡張。
• 非線形期待の下でのPengの大数の法則に対する定量的誤差境界の提供。
• 区間 $[\underline{\mu}, \overline{\mu}]$ 上での最大分布への経験平均の収束速度の確立。
• 非線形設定における最大分布 $\mathcal{M}_p$ のStein型特徴付けの構築。

提案手法

• Hamilton-Jacobi-Bellman方程式 $ \partial_t v - p(\partial_x v) = 0 $ に対して、$ v(x,t) = \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(x + ty) $ と定義される粘性解 $ v(x,t) $ を構成する。ここで $ p(a) = \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} ya $ である。
• 時間に依存する関数 $ \phi_s(x) = v((1-s)x, s) $ を定義し、その期待値 $ w(s) = \mathcal{N}[\phi_s] $ を得る。これにより、ほとんどすべての $ s \in (0,1) $ に対して微分的恒等式 $ w'(s) = \frac{1}{1-s} \mu_s[p(\phi_s') - x\phi_s'] $ が得られる。
• 正則性の欠如に対処するため、粘性解の滑らかな近似 $ v_{n,\varepsilon} $ を用い、非同次偏微分方程式 $ \partial_t v - p(\partial_x v) = f(x,t) $ を解く。
• 差 $ \hat{\mathbf{E}}[\phi(S_n)] - \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) $ の積分表現を用いて誤差境界を確立し、$ \partial_x v(\cdot, s) $ の導出セミノルム $ [\partial_x v(\cdot, s)]_\alpha $ と $ X_1 $ のモーメントに依存する。
• 恒等式 $ \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) - \mathcal{N}[\phi] = \int_0^1 \frac{1}{1-s} \mu_s[p(\phi_s') - x\phi_s'] \, ds $ を適用し、収束速度を導出する。
• 主要な推定式 $ \left| \hat{\mathbf{E}}[\phi(S_n)] - \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) \right| \leq C n^{-1/2} $ を証明し、$ C $ は $ \hat{\mathbf{E}}[|X_1|^2] $ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Steinの方法は、非線形期待の下での大数の法則における誤差見積もりに適応可能か？
• RQ2 この非線形設定において、経験平均 $ S_n $ の最大分布 $ \mathcal{M}_p $ への収束速度は何か？
• RQ3 HJB方程式の解が十分な正則性を持たない場合、適切なStein方程式または代替法をどのように構築できるか？
• RQ4 滑らかな近似は、非線形期待空間における粘性解と可測関数の間のギャップをどのように埋めるか？
• RQ5 非線形枠組みにおける最大分布 $ \mathcal{M}_p $ に対して、Stein型特徴付けをどのように定式化できるか？

主な発見

• 本稿は、非線形期待の下での大数の法則に対して $ O(n^{-1/2}) $ の収束速度を確立し、定数は $ \hat{\mathbf{E}}[|X_1|^2] $ のみに依存する。
• すべての $ \phi \in C_{b,Lip}(\mathbb{R}) $ に対して、リプシッツノルムが1以下である限り、誤差見積もり $ \left| \hat{\mathbf{E}}[\phi(S_n)] - \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) \right| \leq C n^{-1/2} $ が成り立つ。
• この手法は、Hamilton-Jacobi-Bellman方程式の粘性解の滑らかな近似の構築に依存しており、非同次偏微分方程式の解として得られる。
• 微分係数の項を Hölder セミノルム $ [\phi_s']_\alpha $ と $ X_1 $ の $ (1+\alpha) $ 階モーメントによるバインドにより、収束速度の導出を可能にする、重要な恒等式 $ w'(s) = \frac{1}{1-s} \mu_s[p(\phi_s') - x\phi_s'] $ が得られる。
• Stein型特徴付けが提供される：$ \mathcal{N}[\phi] = \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) $ であることは、すべての $ \varphi \in C_b^1(\mathbb{R}) $ と $ \mu \in \Theta_\varphi $ に対して $ \mathbb{E}_\mu[p(\varphi') - \xi \varphi'] = 0 $ であることと同値である。ここで $ p(a) = \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} ya $ である。
• 従来の境界 $ \hat{\mathbf{E}}[d_{[\underline{\mu}, \overline{\mu}]}^2(S_n)] \leq \frac{2(\overline{\sigma}^2 + (\overline{\mu} - \underline{\mu})^2)}{n} $ よりも鋭い $ O(n^{-1/2}) $ の収束速度を、リプシッツ関数に対して提供する点で、本結果は改善をもたらす。