[論文レビュー] Step-by-step solving schemes based on scalar auxiliary variable and invariant energy quadratization approaches for gradient flows

Zhengguang Liu, Xiaoli Li|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2019

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、勾配流れのためのスカラーアシスタント変数（SAV）およびエネルギー保存のための二次形式化（IEQ）手法に基づき、新たな段階的解法スキーム 3S-SAV と 3S-IEQ を提案する。これらのスキームにより、非線形項と定数係数線形系を完全に明示的に取り扱えるようになり、自由エネルギー汎関数の有界性仮定が不要となり、従来の SAV/IEQ 手法に比べてより高い効率性と精度を実現する無条件エネルギー安定性を確保する。

ABSTRACT

In this paper, we propose several novel numerical techniques to deal with nonlinear terms in gradient flows. These step-by-step solving schemes, termed 3S-SAV and 3S-IEQ schemes, are based on recently popular scalar auxiliary variable (SAV) and invariant energy quadratization (IEQ) approaches. In these constructed numerical methods, the phase function $ϕ$ and auxiliary variable can be calculated step-by-step. Compared with the traditional SAV/IEQ approaches, there are many advantages for the novel 3S-SAV/3S-IEQ schemes. Firstly, we do not need the restriction of the bounded from below of the nonlinear free energy potential/density function. Secondly, the auxiliary variable combined with nonlinear function can be treated totally explicitly in the 3S-SAV/3S-IEQ approaches. Specially, for solving the discrete scheme based on IEQ approach, the linear system usually involves variable coefficients which change at each time step. However, the discrete scheme based on 3S-IEQ approach leads to linear equation with constant coefficients. Two comparative studies of traditional SAV/IEQ and 3S-SAV/3S-IEQ approaches are considered to show the accuracy and efficiency. Finally, we present various 2D numerical simulations to demonstrate the stability and accuracy.

研究の動機と目的

• 複雑な非線形自由エネルギー汎関数を持つ勾配流れのための効率的かつ無条件エネルギー安定な時間積分スキームの開発。
• 従来の SAV や IEQ 手法が制限を受ける「非線形自由エネルギー汎関数が下から有界であること」の仮定を排除すること。
• 時間離散化において補助変数および非線形項を完全に明示的に取り扱えるようにすることで、計算効率を向上させること。
• IEQに基づくスキームで定数係数線形系を構築し、従来の変数係数線形系を用いる標準的 IEQ に比べて解法手順を簡素化すること。
• 2次元数値シミュレーションを大規模に実施し、新規スキームの精度、安定性、効率性を検証すること。

提案手法

• 位相変数と補助変数を段階的に解くことで、各時間層で両者を完全に分離する 3S-SAV および 3S-IEQ スキームを提案。
• 補助変数を位相場とともに明示的に計算する新たな定式化を導入し、反復的非線形解法を回避。
• スカラーアシスタント変数（SAV）およびエネルギー保存のための二次形式化（IEQ）フレームワークを用いるが、非線形関数と補助変数を完全に明示的に取り扱うように再定式化。
• 半離散化レベルでエネルギー散逸法則を保持することで、無条件エネルギー安定性を保証する離散スキームを導出。
• 空間離散化にフーリエスペクトル法、時間積分にクランク・ニコルソン法または後退差分公式（BDF）を採用。
• 3S-IEQ アプローチでは、標準的 IEQ とは異なり、定数係数線形系を構築し、変数係数系に比べて高速な解法戦略を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SAV/IEQ 手法において、位相変数と補助変数を完全に分離する段階的解法スキームを設計可能か？ その際、エネルギー安定性は保持されるか？
• RQ2 非線形自由エネルギー汎関数の下からの有界性要件を排除することで、SAV/IEQ 手法の適用範囲が広がるか？
• RQ3 時間積分において補助変数および非線形項を完全に明示的に取り扱えるか？ これにより計算コストは低減するか？
• RQ4 3S-IEQ スキームは定数係数線形系を生成するか？ これにより、標準的 IEQ と比較して解法手順は簡素化されるか？
• RQ5 2次元相場モデルのシミュレーションにおいて、3S-SAV および 3S-IEQ スキームは従来の SAV や IEQ 手法に比べて精度と効率に優れているか？

主な発見

• 3S-SAV および 3S-IEQ スキームは、すべてのテスト時間ステップでエネルギー汎関数が単調に減少するという事実により、無条件エネルギー安定性を達成していることが確認された。
• 非線形自由エネルギー汎関数の下からの有界性仮定が不要となり、適用可能なモデルの範囲が拡大された。
• 補助変数および非線形項が完全に明示的に取り扱われており、従来の SAV/IEQ 手法と比較して計算コストが顕著に低減された。
• 3S-IEQ アプローチでは定数係数線形系が得られ、変数係数系を用いる標準的 IEQ に比べて、より高速かつ効率的な解法手順が可能になった。
• アレン＝コーエン、カーン＝ヒリャード、および相場結晶モデルに対する数値シミュレーションでは、3S-SAV と従来の SAV スキームとの間に顕著な差が認められず、位相の進化やエネルギーの減衰の様子が完全に一致した。
• 3S-SAV および 3S-IEQ スキームは、Δt = 10 に達する大きな時間ステップに対しても高い精度と安定性を維持しており、そのロバスト性が裏付けられた。