[論文レビュー] Stochastic 3D Navier-Stokes equations with nonlinear damping: martingale solution, strong solution and small time large deviation principles

Hui Liu, Hui Gao|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形減衰を伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、マルティングール解および強解の存在を確立し、β > 3およびβ = 3のときα ≥ 1/2の下で、グローバルな存在と一意性を証明する。さらに、確率的解析およびコンパクトネス法を用いて、同じ系における小さな時間における大偏差原理（LDP）を導出する。

ABSTRACT

In this paper, by using classical Faedo-Galerkin approximation and compactness method, the existence of martingale solutions for the stochastic 3D Navier-Stokes equations with nonlinear damping is obtained. The existence and uniqueness of strong solution are proved for $β> 3$ with any $α>0$ and $α\geq \frac12$ as $β= 3$. Meanwhile, a small time large deviation principle for the stochastic 3D Navier-Stokes equation with damping is proved for $β> 3$ with any $α>0$ and $α\geq \frac12$ as $β= 3$.

研究の動機と目的

• フェド＝ガレルキン近似法およびコンパクトネス法を用いて、非線形減衰を伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対するマルティングール解の存在を確立すること。
• β > 3のとき任意のα > 0、およびβ = 3のときα ≥ 1/2の条件下で、強解の存在および一意性を証明すること。
• 非線形減衰を伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対する小さな時間における大偏差原理（LDP）を導出し、フリードリン＝ヴェントツェル理論を減衰項を含む確率的3次元ケースに拡張すること。
• 非線形減衰効果の精密な解析を通じて、従来の決定的結果におけるβ ≥ 3のときのα ≥ 1/2の条件を緩和することにより、既存の結果を改善すること。
• LDPおよびエルゴディシティ推定を用いて、減衰項を含む確率的流体力学におけるレアイベントおよび漸近的挙動を厳密に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• 有限次元部分空間における近似解を構成するために、フェド＝ガレルキン近似法を用いる。
• コンパクトネスの議論および事前推定を適用して極限に移行し、弱い意味でのマルティングール解を導出する。
• エネルギー推定および伊藤の公式を用いて非線形項を制御し、特に∫₀ᵗ∫_D |u·∇u|² dx dsを減衰項|u|^{β−1}uを用いて制御する。
• 弱収束法およびスコロフホドの埋め込み定理を用いて、LDP解析における確率測度のタイトネスを確立する。
• フリードリン＝ヴェントツェルの弱収束アプローチを実装し、指数的推定および大偏差バウンドに依存して小さな時間におけるLDPを導出する。
• 停止時刻τ_ε,M^nおよび指数モーメント推定を用いて、解とその近似との間のパスワイズ差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形減衰を伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、マルティングール解が存在する条件は何か？
• RQ2 βおよびαのどの値の組み合わせにおいて、グローバルに一意な強解が存在するか？
• RQ3 非線形減衰を伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、小さな時間における大偏差原理（LDP）を確立できるか？
• RQ4 非線形減衰項|u|^{β−1}uは、標準的な場合と比較して、正則性をどのように向上させ、より強い存在および一意性結果を可能にするか？
• RQ5 強解の存在においてα ≥ 1/2の条件が果たす役割は何か？そして、精密な解析によってこの条件を緩和できるか？

主な発見

• 非線形減衰を伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、任意のβ > 1についてマルティングール解が存在する。
• β > 3および任意のα > 0の下で、強解が存在し、一意的である。β = 3のときもα ≥ 1/2の下で同様に成立する。
• β > 3および任意のα > 0、およびβ = 3のときα ≥ 1/2の下で、小さな時間における大偏差原理（LDP）が確立された。
• LDPの証明における指数的推定から、任意のR > 0に対してP(supₜ|u^ε(t)−v^ε(t)|² > δ) ≤ 3e^{−R/ε}が成り立ち、lim_{ε→0} ε log P(...) = −∞であることが示される。
• 非線形減衰構造のより深い利用を通じて、従来の決定的結果におけるβ ≥ 3のときのα ≥ 1/2の条件を緩和した分析により、既存の結果を改善した。
• コンパクトネスおよびタイトネスの議論に加え、停止時刻による制御により、近似列の収束およびLDPの妥当性が保証された。