[論文レビュー] Stochastic averaging lemmas for kinetic equations

Lions, Pierre-Louis, Benoı̂t Perthame+1 more|Apr 2, 2012

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ストラトノビッチノイズを伴う運動方程式に対する確率的平均化補題を確立し、$L^2$における速度平均の時間的・空間的正則性が確率的時間スケールによって変化することを示している。時間減衰は遅くなる（例：決定論的ケースの$ olimits^{-1/2}$ 対 $ olimits^{-3/2}$）、正則性の向上も双曲的スケーリングと放物的スケーリングの違いにより異なる。結果は確率的特性曲線とフーリエ解析を用いて導出され、確率的フラックスを伴うスカラー保存則への応用が示される。

ABSTRACT

We develop a class of averaging lemmas for stochastic kinetic equations. The velocity is multiplied by a white noise which produces a remarkable change in time scale. Compared to the deterministic case and as far as we work in $L^2$, the nature of regularity on averages is not changed in this stochastic kinetic equation and stays in the range of fractional Sobolev spaces at the price of an additional expectation. However all the exponents are changed; either time decay rates are slower (when the right hand side belongs to $L^2$), or regularity is better when the right hand side contains derivatives. These changes originate from a different space/time scaling in the deterministic and stochastic cases. Our motivation comes from scalar conservation laws with stochastic fluxes where the structure under consideration arises naturally through the kinetic formulation of scalar conservation laws.

研究の動機と目的

• ストラトノビッチノイズによって駆動される確率的運動方程式の平均化補題を構築すること、特に確率的フラックスを伴うスカラー保存則を対象とすること。
• ブラウン運動に起因する確率的時間スケーリングが、決定論的ケースと比較して速度平均の正則性および減衰特性に与える影響を同定すること。
• 分数階ソボレフ空間における速度平均 $\rho_\psi$ の $L^2$ 評価を確立し、確率性に起因する指数の変化を定量すること。
• ストラトノビッチ微積分と確率的特性曲線が、ノイズ下でも運動方程式の構造をどのように保っているかを明確にすること。

提案手法

• ストラトノビッチ表記に従い、$f(x+B(t)\circ\xi,\xi,t)$ の形で解を特徴付ける確率的特性曲線の使用。
• 空間および時間におけるフーリエ解析を用いて、速度平均 $\rho_\psi = \int \psi(\xi)f(x,\xi,t)d\xi$ の $L^2$ ノルムを推定する。
• 確率的時間発展に伴い生じる特異積分を制御するためのカルデロン＝ジミン理論の応用。
• 時間減衰の挙動を分離し、決定論的ケースと確率的ケースを比較するため、時間減衰項 $e^{-\lambda t}$ を導入する。
• フーリエ乗数の比較：決定論的ケースの双曲的 $1/(2\lambda - i(\xi_1-\xi_2)\cdot k)$ 対 確率的ケースの放物的 $1/(2\lambda + |(\xi_1-\xi_2)\cdot k|^2)$。
• $L^2$ エネルギー推定と双対性を用いて、$\mathbb{E}\|\rho_\psi\|_{L^2(\mathbb{R}^+; \dot{H}^s)}^2$ の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動方程式にストラトノビッチノイズを追加した場合、$L^2$における速度平均の正則性はどのように変化するか？
• RQ2 決定論的ケースと比較して、確率的ケースにおける速度平均の正確な時間減衰率は何か？
• RQ3 分数階ソボレフ正則性推定における指数は、確率的時間スケーリングによってどのように変化するか？
• RQ4 $L^2$ 右辺および確率的フラックスを伴う確率的運動方程式に対して、平均化補題の枠組みを拡張可能か？
• RQ5 ストラトノビッチ表記が、ノイズ下でも運動方程式の構造をどのように保っているか？

主な発見

• 初期条件 $f^0 = 0$ の場合、確率的平均化補題により $\mathbb{E}\|e^{-\lambda t}\rho_\psi\|_{L^2(\mathbb{R}^+; \dot{H}^{1/2})}^2 \leq C(\text{supp}\,\psi) \lambda^{-3/2} \|e^{-\lambda t}\psi g\|_{L^2}^2$ が得られ、決定論的ケースより時間減衰が遅いことが示される。
• 関数 $g = \text{div}\,h$ の場合、補題により $\mathbb{E}\|\rho_\psi\|_{L^2(\mathbb{R}^+; \dot{H}^{1/3})}^2 \leq C(\psi) \left(\|h\|_{\dot{H}^{-2/3}_{x} \cap L^2}^2 + \|\psi f\|_{L^2}^2\right)$ が得られ、決定論的ケースの $\dot{H}^{1/2}$ と比較して正則性が向上していることが示される。
• 確率的フーリエ乗数 $1/(2\lambda + |(\xi_1 - \xi_2)\cdot k|^2)$ は放物的スケーリングを引き起こし、決定論的ケースの双曲的乗数 $1/(2\lambda - i(\xi_1 - \xi_2)\cdot k)$ と比較して、減衰が遅く、正則性指数も異なる。
• 時間正則性のケースでは、確率的補題により $H^{1/4}(\mathbb{R}^+)$ において $1/4$ 個の微分の正則性向上が得られるが、決定論的ケースでは $1/2$ 個の微分の正則性向上が達成される。これは、決定論的設定においてはより強いキャンセレーションが働くことを反映している。
• 結果は $L^2$ の仮定のもとで安定しており、時間的に全域にわたって成り立ち、境界は $\psi$ の台および初期データまたは源項に依存する。
• この手法により、確率性が時間スケール構造を根本的に変化させ、フーリエドメインにおいて正則性の性質が双曲的から放物的へと変わることを確認した。